Itération par pliage et mise à l’échelle
Chaque étape fait passer l’orbite par quatre opérations : pliage en boîte, pliage radial, mise à l’échelle, puis décalage de c.
Le pliage en boîte traite une coordonnée à la fois. Prenez une composante a de z. Au-dessus de 1, elle est réfléchie selon a → 2 − a ; au-dessous de −1, selon a → −2 − a. Les composantes dans [−1, 1] ne changent pas. Le plan extérieur se replie vers le carré central.
Vient ensuite le pliage en boule, qui examine le module au carré r² = |z|². Si r² < 0.25 (|z| < 0.5), multipliez le point par 4 et éloignez-le de l’origine. Si 0.25 ≤ r² < 1, inversez-le par rapport à la sphère unité : z → z/r² ; ainsi, un rayon m devient 1/m. Les points pour lesquels r² ≥ 1 ne changent pas. Les points proches sont déplacés vers l’extérieur ; la bande intermédiaire s’inverse par rapport à la sphère unité. Ces opérations créent l’interface instable derrière les couches anguleuses du Mandelbox.
Essayez z₀ = (1.5, 0) avec l’échelle s = 2. Le pliage en boîte réfléchit x = 1.5 en x = 0.5. Puisque r² = 0.25 appartient à la bande intermédiaire, le pliage en boule l’inverse : z = z/r² = (2, 0). La mise à l’échelle par 2 donne (4, 0), et l’ajout de c achève l’étape. En partant plutôt de l’origine, vous êtes dans la bande la plus interne : le pliage en boule la multiplie par 4 — elle reste l’origine —, donc le premier itéré arrive exactement sur c.
