복소 사인 사상: 0.28 가중치의 사인 섭동이 궤도를 굽히고, 고정된 0.55라디안 회전이 이를 돌리며, c가 이동시킨다 — George Zaslavsky의 1978년 소산성 킥 로터 사상에서 영감을 받은 변형이다.
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FractalPark는 z(n+1) = exp(0.55 i) * (z(n) + 0.28 sin(z(n))) + c를 구현한다. 사인은 기존 궤도에 대한 0.28 가중치 섭동이고, 고정 복소 위상은 섭동된 전체 결과를 0.55라디안(약 31.5°) 회전시킨 뒤 c가 이를 이동시킨다.
1978년 George M. Zaslavsky는 마찰로 에너지를 잃으면서 반복적으로 충격을 받는 회전체인 소산성 킥 로터를 모델링하기 위해 원래 사상을 도입했다. 이 고전 사상은 실수 작용-각 변수를 사용하는 2차원 사상이다. FractalPark는 이 아이디어를 탈출 시간 영상을 위한 하나의 복소 변수로 재구성했으며, 1978년 논문의 정확한 점화식은 아니다.
복소 사인은 허수축을 따라 무한히 커질 수 있으므로 이는 단순한 다항식 탈출이 아니다. 궤도는 잠시 원을 그리다가 흩어질 수 있다. 이 지연은 특히 만화경 공간 변환 뒤에 소용돌이치는 팔과 동심 고리를 남긴다.
FractalPark는 z(n+1) = exp(0.55 i) * (z(n) + 0.28 sin(z(n))) + c를 사용한다. 사인 항은 z를 대신하는 것이 아니라 z에 더해지는 0.28 가중치의 섭동이다. 고정 승수는 섭동된 전체 궤도를 반시계 방향으로 0.55라디안(약 31.5°) 회전시키고 c가 결과를 이동시킨다.
z₀ = 0에서는 sin(0)=0이므로 괄호 안의 섭동 항은 0이다. 0을 회전해도 0이므로 c만 남아 z₁ = c이다. 그 뒤 복소 사인은 커질 수 있고 sin(a + ib)의 크기에는 cosh(b) 항이 들어 있다.
0.55라디안 회전은 공식에 고정되어 있어 사용자가 조절할 수 없다. 이상화된 점화식의 일부가 아닌 구현 세부 사항으로서 FractalPark는 입력 허수 성분을 ±80으로 제한하고 각 출력 성분을 1/16 격자로 반올림한다.
George M. Zaslavsky(1929–2008)는 소련 태생의 수리물리학자로, 동역학적 혼돈 이론에 기초적인 기여를 했다. 그는 1978년 Physics Letters A에 발표한 "The Simplest Case of a Strange Attractor"라는 논문에서 오늘날 자신의 이름을 딴 사상을 소개했다. 이 사상은 주기적인 충격을 받고 마찰로 에너지를 잃는 회전계인 소산성 킥 로터의 스트로보스코프 기술로부터 유도되었다.
Zaslavsky는 훗날 미국으로 이주하여 뉴욕대학교 물리학과와 Courant Institute of Mathematical Sciences에 합류했다. 그는 해밀토니안 혼돈과 분수 동역학에 관한 여러 책을 저술했다. Zaslavsky가 2007년에 직접 쓴 Scholarpedia의 Zaslavsky 사상 항목은 권위 있는 기술 참고 자료다.
고전 Zaslavsky 사상은 두 실수 변수(작용과 각도)에서 작동한다. FractalPark의 복소 탈출 시간 변형은 z(n+1) = exp(0.55 i) * (z(n) + 0.28 sin(z(n))) + c를 사용하며, 원래 소산계의 직접 전사가 아닌 창의적 적응이다.
만화경 변환은 소용돌이 팔과 만다라 같은 고리를 또렷하게 한다. 표준 이미지는 섭동된 궤도가 유계로 남을 수 있는 중심 영역 주위에 동심호와 방사형 살을 놓는다.
따뜻한 주황과 금색이 깊은 검정 위에 놓인다. 일정한 회전은 팔을 굽히고 사인 섭동은 고리 가장자리에 잔물결을 만든다.
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사상은 섭동된 전체 궤도 z + 0.28 sin(z)에 exp(0.55 i)를 곱해 약 31.5° 반시계 방향으로 회전시킨 뒤 c를 더한다. 이는 매 반복마다 일어나며 공식에 고정되어 있고 사용자가 조절할 수 없다.
아니다. 만화경은 반복식 밖의 선택적 공간 변환이다. 매개변수 평면의 부채꼴 영역을 반사하거나 복사한다. Zaslavsky 사상에는 내장된 반사 대칭이 없으며, 만화경은 독립적으로 켤 수 있는 별도의 렌더링 단계이다.
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