Mandelbox

대부분의 프랙탈 공식은 z² + c처럼 제곱으로 시작한다. Mandelbox는 다른 경로를 택한다. 상자 접기는 고정된 정육면체 밖의 좌표를 그 면 쪽으로 되돌려 보내고, 방사형 또는 공 접기는 원점에서의 거리에 따라 점을 반전하거나 스케일한다. 균일 스케일은 c를 더하기 전에 결과를 늘리거나 압축한다. 이 순서를 반복하면 제곱이 아니라 접기가 구조를 만든다.

반사와 반전은 특정 차원 수를 요구하지 않으므로 어떤 차원에서든 이 구성을 만들 수 있다. FractalPark는 복소평면에서 같은 접기와 스케일의 핵심을 유지하는 2차원 변형을 그린다.

이 매개변수 사상은 다항식에서 익숙한 곡선으로 부드러워지지 않는다. 날카로운 모서리의 방, 중첩된 요새, 설계도에서 옮겨온 듯한 통로를 만들어 낸다. 그 경계는 가까이에 머무는 유계 궤도와 탈출하는 궤도를 가른다. 확대하면 들쭉날쭉한 자기유사 가장자리에 더 작은 규모의 상자 모티프가 다시 나타난다.

Mandelbox는 Tom Lowe(온라인에서는 Tglad로 알려짐)가 2010년 초 FractalForums 커뮤니티에서 처음 선보였다. Lowe는 3차원에서 상자 반사와 구면 반전이라는 반복 접기 연산을 실험하며 Mandelbrot 집합과 유사한 유계 자기유사 구조를 만들 수 있는지 살폈다. 결과는 곧 새로운 프랙탈 부류로 인정받았고, Mandelbrot 집합에 대한 경의와 시각화했을 때 나타나는 상자 같은 형태 때문에 "Mandelbox"라는 이름이 채택되었다.

이 발견은 Daniel White와 Paul Nylander의 2009년 Mandelbulb 직후에 나왔으며, 이는 자명하지 않은 3D 프랙탈을 찾으려는 취미가들의 관심을 다시 불러일으켰다. 몇 달 안에 Knighty, Jesse 등을 포함한 FractalForums 기여자들이 Mandelbox 개념을 여러 대칭 평면과 다면체 접기로 확장했다.

Mandelbulber, Mandelbulb3D, Fragmentarium, Ultra Fractal 같은 프랙탈 아트 소프트웨어에서 인기가 높았지만, Mandelbox는 정식 수학 분석을 비교적 적게 받았다. 동료 심사를 거친 몇 안 되는 연구 중 하나는 구면 반전 단계를 임의의 형태 반전으로 일반화한 Gregg Helt의 2018년 Bridges Conference 논문이다.

반복된 접기는 날카로운 모서리의 방, 중첩된 요새, 깊이가 있는 복도를 만들어 낸다. 기본 매개변수 s = 2는 구조에 곧은 벽, 직각 모서리, 수정 요새 내부와 같은 층층의 움푹한 공간을 부여한다.

더 미세한 규모에서는 상자 주제가 되돌아온다. 전체 형태의 작은 복사본이 움푹한 공간과 경계를 따라 나타나며, 모두 같은 직선적 기하를 지닌다. 표준 이미지는 차가운 파랑과 시안을 사용하며, 이는 접기의 기계적인 기하와 어울린다.