이색어려움

Rational Map 1

2차 유리 반복 z²/(z + c)이에요. 영점 하나와, c가 변하면서 이동하는 극 하나가 있어요.

FractalPark이 렌더링한 Rational Map 1: 휘어진 칼날 부채가 극에서 천천히 회전하며 방사되고, 가느다란 띠가 극 근처 궤도를 기록해요.

개요

Rational Map 1은 z² / (z + c)을 반복해요. z² + c 같은 다항식에는 분모가 무너지는 지점이 없지만, 이 사상에는 있어요. z = −c에 움직이는 극이 자리 잡아요. 극을 스치는 궤도는 바깥으로 내던져졌다가 다음 단계에서 전혀 다른 경로를 탈 수 있어요.

영점은 z = 0에 하나, 극은 z = −c에 하나 있어요. 함수는 여전히 2차이지만, 그 극 하나가 평면을 다시 그려요. 멀리서는 z² / (z + c)이 대략 z처럼 자라서(|z|가 크면 z² / (z + c) ≈ z), 무한대는 더 이상 지배적인 고정점이 아니에요. 분지는 유한한 흡인 주기 집합 주변에 모이고, 극은 그 사이에 휘어진 수로와 부채꼴 구역을 새겨요.

FractalPark에는 c가 움직이는 매개변수 평면과 c가 고정된 줄리아 뷰가 있어요. 이 가이드 이미지는 줄리아 확대 사진이에요. 극 주위로 휘어진 칼날들이 펼쳐지고, 가느다란 색 띠가 특이점을 스치는 궤도를 따라가요.

수학

Rational iteration

z_{n+1}=\frac{z_n^2}{z_n+c}

Each step squares z, then divides by z + c. The numerator is zero at z = 0; the denominator is zero at z = −c, which makes that point a pole. The map has degree two: (z²)/(z + c) is degree‑2 over degree‑1, and after cancelling a common factor it has one zero and one pole, each counted with multiplicity.

Try the pole at close range. Take c = 0.5, so the pole is at z = −0.5, and start at z₀ = −0.49, just to its right. Then z₁ = (−0.49)² / (−0.49 + 0.5) = 0.2401 / 0.01 = 24.01. One step has thrown the orbit far out. Since |z₁| is large, the next step gives z₂ ≈ z₁² / z₁ = z₁ = 24.01: the large value persists instead of snapping back as in the magnet family. Pixel colour records the steps before the orbit crosses the escape threshold.

Unlike polynomial maps, where infinity always attracts escaping orbits, this map is nearly linear far out (z → z). Thrown-out orbits may drift. The escape-time colours therefore spread into broad, gradual bands rather than the abrupt jumps familiar from z² + c.

시각적 특징

This is a Julia close-up. Around the pole, curved blades open into sweeping channels that follow the map's local direction. Tight colour bands between them mark orbits that graze the pole and need many steps to cross the escape threshold.

Because large-z motion is nearly linear rather than explosive, the bands change colour slowly and broadly. It reads as a turning fan with the pole for its hub. Move c and the pole moves too; the whole fan reorganizes.

리믹스와 예제

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자주 묻는 질문

What makes this a rational map?

Its rule is a quotient of two complex polynomials, z² divided by z + c, not one polynomial alone. That permits poles: places where the denominator vanishes and the value becomes infinite. Polynomial maps have no such places, so their dynamics lack this particular detour.

Where is the pole?

Set z + c to zero: the pole is at z = −c. It moves with c and helps draw the curved fan and blades. An orbit passing close by is thrown to a large value, then may drift because the map grows only linearly far from the origin.

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