Circle Inversion

O Circle Inversion troca o crescimento quadrático familiar por um passo quadrático recíproco: tome 1/z² e depois desloque-o por c. Parece uma pequena troca. O comportamento não é.

Na iteração polinomial comum, uma vez que uma órbita cresce além de certo tamanho, ela continua se afastando da origem. Aqui essa lógica vira do avesso: perto de zero torna-se enorme, e um valor enorme volta para perto de zero. Então c decide onde esse valor trocado vai parar.

A imagem é radial, com anéis aninhados e traços axiais nítidos. A origem é um polo de ordem 2 — um ponto onde o mapa é indefinido — e sua atração se estende por todo o plano de parâmetros.

The map z → 1/z² + c sits near the broader rational family known as McMullen maps, z → zⁿ + λ/zⁿ. Curt McMullen introduced that family in the late 1980s, showing rational maps whose parameter spaces contain several kinds of hyperbolic components, including ones with Sierpiński-carpet Julia sets.

With n = 2, λ = 1, and a translation parameter c, this gives the Circle Inversion map. Its name comes from 1/z², which inverts the complex plane with respect to the unit circle and doubles the angle. Robert L. Devaney and others later studied the McMullen family, tracing how escape loci and Julia sets change with parameters. FractalPark renders exactly this map — the n = 2, λ = 1 case with c as the translation parameter.

Concentric bands and radial spines run outward from the pole at the origin. The bands mark regions whose orbits stay bounded or escape at different rates, making nested rings like a target or the ripples from a dropped pebble.

Sharp axial structures form distinct spokes. They come from the inversion’s angular part: 1/z² doubles z’s angle, creating preferred directions where the dynamics line up. The reciprocal quadratic form gives this parameter plane a more rigid radial symmetry than most.