FractalPark
МагнитСредне

Magnet Type 1

Возведённое в квадрат отношение Мёбиуса с одним полюсом в z = c, собирающее плоскость в сгруппированные бассейны и цепочки-бусы.

Открыть в Обзоре
Медно-оранжевые сферы разных размеров, сгруппированные на тёмно-синем поле, усыпанном мелкими сине-белыми звездообразными розетками
Вид Жюлиа Magnet Type 1: гладкие округлые бассейны собираются в группы, а звездообразные розетки теснятся на их фрактальных границах.

Обзор

Magnet Type 1 начинается с ((z + c) / (z − c))². Отношение в скобках — преобразование Мёбиуса, простейшая нетривиальная рациональная функция; возведение в квадрат делает из него рациональное отображение второй степени. В отличие от z² + c, это отображение не отправляет далёкие точки всё дальше. Они возвращаются к 1.

Динамика сосредоточена вокруг двух противоположных точек. Отношение обращается в нуль при z = −c и имеет полюс при z = c. Орбита, задевающая полюс, улетает далеко, затем возвращается к 1 на следующем шаге. Устойчивые бассейны растекаются по плоскости; между ними — фрактальная граница, сложенная из слоёв прообразов полюса.

FractalPark предлагает плоскость параметра, где движется c, и виды Жюлиа, где c остаётся фиксированным. Иллюстрация — крупный план Жюлиа. Его округлые бассейны собираются в комки, как железные опилки вокруг магнита, — отсюда название семейства.

Математика

A Möbius quotient, squared

z(n+1) = ((z(n) + c) / (z(n) - c))^2

Each step forms (z + c) / (z − c), then squares it. The ratio is zero at z = −c and blows up at z = c. Squaring makes −c a double zero and c a double pole, while leaving the map with rational degree two.

Infinity behaves differently here. As |z| grows, (z + c) / (z − c) approaches 1, so the next value lands near 1 however large z becomes. Huge values arise only near z = c. FractalPark treats |z| above 16 as escaped, so a “fast escape” marks a close pass by the pole, not a one-way trip to infinity.

On the Riemann sphere, the pole maps to infinity and infinity maps to 1, so the orbit remains well-defined at the singularity. A numerical renderer cannot divide by zero: when the denominator is exactly zero, the shader substitutes 0, and the next step continues from f(0) = 1. That is a computational safeguard, not another mathematical definition.

История

In 1986, Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter brought magnet fractals into the literature in *The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems*. Their chapter “Magnetism and Complex Boundaries” (pp. 129–138) presented rational maps derived from renormalization transformations in a model of magnetic materials. There, the boundary between magnetic and non-magnetic phases is fractal. Iterating the transformation draws that boundary, giving the images their clustered, field-like structure.

Fractint later included the maps as “magnet1” and “magnet2,” in both Mandelbrot-style and Julia-style views; the name was then adopted by other fractal software. POV-Ray’s documentation still calls its magnet1 and magnet2 patterns “derived from some magnetic renormalization transformations,” crediting the Fractint help files.

The classic Type 1 formula from that lineage is ((z² + c − 1) / (2z + c − 2))². FractalPark implements a simplified squared quotient, ((z + c) / (z − c))², under the same name; every render and every mathematical statement on this page refers to the formula as FractalPark actually computes it.

Визуальные особенности

In this Julia-set close-up, large smooth copper-orange spheres gather on the right in clusters of very different sizes. The deep blue at left and below holds smaller spheres and blue-white rosettes, each star-shaped around a faint orange core.

The rounded blobs are basins, where orbits settle. Rosettes and dense grain trace the fractal border between them. This arrangement belongs to this parameter and framing—other c values rearrange it. The warm/cool palette is a colouring choice, not a property of the formula.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в ОбзореОткрыть редактор формул

Часто задаваемые вопросы

Why is it called Magnet?

The name comes from a family made widely known by Fractint. Its maps trace back to renormalization calculations for a model of magnetic phase transitions, presented in Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter’s 1986 book *The Beauty of Fractals*. The squared-quotient formulas form clustered, domain-like basins; their boundaries mark the transition between magnetic and non-magnetic phases.

FractalPark’s Type 1 keeps the name and the squared-quotient shape but uses the simpler ratio ((z + c) / (z − c))². The formula shown on this page is exactly the one the engine computes.

What happens near z = c?

At that point the denominator z − c vanishes. Thus z = c is a pole of the quotient, and a double pole after squaring. Orbits that skim past it leap to very large values, then fold back near 1 a step later.

This behaviour builds the boundary: a growing web of points whose orbits eventually hit the pole. For the rare pixel that lands exactly there, the shader uses a safe value rather than divide by zero, matching the orbit’s continuation on the Riemann sphere.

Ссылки

Разбор исходного кода

  1. frm-v1:3aec931a4991e14e53348c6d28e9fcbaf8127cad6298dafc2a8ee9e2ac8d8143:init/0

    В magnet1, этот узел выполняет if ismand: z = 0; иначе z = pixel.

  2. frm-v1:3aec931a4991e14e53348c6d28e9fcbaf8127cad6298dafc2a8ee9e2ac8d8143:loop/2

    В magnet1, этот узел выполняет ratio = numerator / denominator.

  3. frm-v1:3aec931a4991e14e53348c6d28e9fcbaf8127cad6298dafc2a8ee9e2ac8d8143:loop/3

    В magnet1, этот узел выполняет z = ratio * ratio.

  4. frm-v1:3aec931a4991e14e53348c6d28e9fcbaf8127cad6298dafc2a8ee9e2ac8d8143:bailout

    В magnet1, этот узел выполняет |z| <= 4.

Синтаксические особенности

state-flow

Конкретный поток состояния: выбор ismand задаёт начальное z, затем numerator и denominator образуют ratio, который возводится в квадрат.

stopping-test

Проверка остановки оценивает только |z| <= 4; она не присваивает состояние.

Эксперимент с параметрами

Шаги

  1. Не меняя остальные настройки профиля, запустите magnet1 с 48 итерациями.
  2. Затем используйте 96 итераций закреплённого профиля и запишите различие.

Что наблюдать

Запишите, меняет ли numerator = z + c; denominator = z - c; ratio = numerator / denominator; z = ratio * ratio видимый результат или проверку остановки |z| <= 4 относительно базового запуска; определение не гарантирует различие.

Упражнение

Проследите аннотации magnet1 и объясните, как numerator = z + c; denominator = z - c; ratio = numerator / denominator; z = ratio * ratio выполняется в отмеченных операциях.

Проверка выполнения

Ваш ответ объясняет все 4 аннотации, указывает numerator = z + c; denominator = z - c; ratio = numerator / denominator; z = ratio * ratio и отличает |z| <= 4 как проверку остановки от присваивания.

Подсказка

Поток состояния последовательно выполняет если ismand: z = 0; иначе z = pixel → numerator = z + c → denominator = z - c → ratio = numerator / denominator → z = ratio * ratio и передаёт результат следующему шагу.

Источники и права

Источник: закреплённое определение выполнения и решение о публикации.

Сведения о правах следуют закреплённому решению в английском разделе.

Карточка формулы

magnet1

Эта каноническая реализация FractalPark опубликована и готова к запуску.

Детерминированный предпросмотр magnet1

Канонический исходный код

Язык
frm-like/1
Стандартная библиотека
1
Режим профиля
parameter-plane
Центр профиля
-0.5, 0
Масштаб профиля
0.4
Итерации профиля
96
Основание профиля
mechanical

Параметры

Объявленных параметров нет

Открыть в обозревателе

Канонический исходный код

Эта проверенная каноническая ревизия доступна только для чтения. Remix создаёт отдельную редактируемую копию.

Загрузка канонического кода…

Источник и текущая реализация

ID формулы
12fc34ff-196d-5924-830e-6edb72dfc172
Каноническое имя
magnet1
Исходное имя
magnet1
Исторический источник
FractalPark
Текущая реализация
Собственность проекта

Это собственная реализация проекта FractalPark. Ссылка ведёт на зафиксированный канонический файл Definition.

Есть вопрос о правах или атрибуции?

Отправьте ID формулы и подтверждающие материалы. На время проверки сопровождающий может приостановить или отозвать реализацию. contact@fractalpark.com