Circle Inversion

Circle Inversion меняет привычный квадратичный рост на обратный квадратичный шаг: возьмите 1/z², затем сдвиньте его на c. Выглядит как маленькая замена. Поведение — совсем нет.

В обычной полиномиальной итерации, как только орбита вырастает за некоторый размер, она продолжает удаляться от начала координат. Здесь логика выворачивается наизнанку: вблизи нуля значение становится огромным, а огромное возвращается к нулю. Затем c решает, куда ляжет обменянное значение.

Картина радиальна: вложенные кольца и резкие осевые следы. Начало координат — полюс порядка 2, точка, где отображение не определено, — и его притяжение протягивается через всю плоскость параметра.

The map z → 1/z² + c sits near the broader rational family known as McMullen maps, z → zⁿ + λ/zⁿ. Curt McMullen introduced that family in the late 1980s, showing rational maps whose parameter spaces contain several kinds of hyperbolic components, including ones with Sierpiński-carpet Julia sets.

With n = 2, λ = 1, and a translation parameter c, this gives the Circle Inversion map. Its name comes from 1/z², which inverts the complex plane with respect to the unit circle and doubles the angle. Robert L. Devaney and others later studied the McMullen family, tracing how escape loci and Julia sets change with parameters. FractalPark renders exactly this map — the n = 2, λ = 1 case with c as the translation parameter.

Concentric bands and radial spines run outward from the pole at the origin. The bands mark regions whose orbits stay bounded or escape at different rates, making nested rings like a target or the ripples from a dropped pebble.

Sharp axial structures form distinct spokes. They come from the inversion’s angular part: 1/z² doubles z’s angle, creating preferred directions where the dynamics line up. The reciprocal quadratic form gives this parameter plane a more rigid radial symmetry than most.