Lambda Fractal

На вещественной прямой логистическое отображение стало небольшой лабораторией хаоса. Пусть его значения блуждают по комплексной плоскости — и оно раскрывается в λ-фрактал (Lambda). FractalPark использует центрированную форму: c масштабирует два взаимодополняющих множителя, тянущих в противоположные стороны.

Аффинная замена координат делает эту формулу сопряжённой стандартному квадратичному отображению z² + c. Она разделяет черты семейства множества Мандельброта, но не его очертания: здесь диск стоит там, где у множества Мандельброта кардиоида, а присоединённые «почки» располагаются по собственным периодам.

Здесь c вращает две рукоятки сразу — рост и поворот. Зафиксируйте его для вида Жюлиа, затем слегка сдвиньте: почти круглая область притяжения может превратиться в границу из ветвей и спиралей.

The map z → λz(1 − z) began as the complex extension of the real logistic map, studied extensively in the 1970s as a simple model of population dynamics and chaotic behavior. In 1980, Benoit B. Mandelbrot took the iteration to unrestricted complex λ and z. His paper, "Fractal Aspects of the Iteration of z → λz(1−z) for Complex λ and z," introduced the λ-plane parameter set—now the Lambda fractal—and placed it in the broader theory of iterated rational maps.

The groundwork was already there. Around 1917–1918, Pierre Fatou and Gaston Julia developed the general theory of iterated rational functions that later made families such as the logistic map available to explore. In 1986, Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter brought the Lambda fractal to a wider audience in "The Beauty of Fractals," with some of the first widely seen computer-generated images of the set.

At full scale, the Lambda set begins with an almost circular body—the countershape to the Mandelbrot set’s heart-like cardioid. Smaller bulbs cling to the disk; each marks a stable periodic cycle, and the largest marks a period-2 cycle. Beyond them lie branching channels, tiny disk islands, and spirals.

The islands give away the difference: they are round here, not cardioid-shaped, because the algebra has changed. In Julia mode, c can select a filled disk or a many-armed vortex.