FractalPark
燃烧船进阶

飞艇

燃烧船的近亲,折叠并不对称:实部直接折叠,虚部由带符号的 x 和 |y| 耦合而成。

在探索器中打开
FractalPark 的飞艇分形标准渲染图:翼状瓣体与非对称折叠细节
FractalPark 渲染的飞艇分形:翼状瓣体从中心狭窄接缝伸展,横向宽阔连续,纵向细碎如刺。

概览

飞艇既换了燃烧船的折叠位置,也换了另一坐标的角色。它只直接折叠实部;虚部由带符号的 x 乘以 |y| 构成。这种不对称耦合带来另一套轨道几何,简单旋转或反射别的折叠分形得不到它。

集合从狭窄接缝伸出翼状瓣体,像飞艇,也像飞翼。最宽处靠近中心,往外渐渐收细。实部和虚部的处理不同,画面便有了方向:水平方向宽而连贯,竖直方向则碎成尖刺。

反演等空间变换会掀出更多嵌套翼层。但那只是观看方式,不是公式本身不完整;飞艇自己已经能长出这些形状。

数学原理

飞艇折叠

z(n+1) = (absolute x(n) + i times x(n) times absolute y(n))^2 + c

对实部取绝对值,再将复数(|xₙ| + i·xₙ·|yₙ|)平方后加 c。展开后,平方后的实部为 xₙ₊₁ = (|xₙ|)² − (xₙ·|yₙ|)² + Re(c),虚部为 yₙ₊₁ = 2·|xₙ|·xₙ·|yₙ| + Im(c)。留意 xₙ 在交叉项中同时出现在绝对值内外,因此它的符号会沿迭代传下去。

试试 c = i。对燃烧船,轨道迅速发散。对飞艇,z₁ = (|0| + i·0·|0|)² + i = i,z₂ = (|0| + i·0·|1|)² + i = i,轨道被束缚在 i 处成为不动点——燃烧船没有这个不动点。可见非对称折叠能让曼德布罗特集中行为相同的轨道变得稳定或不稳定。

视觉特征

翼状瓣体从中心狭窄接缝伸展,横向结构宽阔连续,纵向特征细碎刺状。在反演等空间变换下,会露出嵌套的翼状层次。

再创作与示例

从 canonical Document 开始

打开本指南使用的同一份已审定公式状态,再在交互式探索器中调整视图、着色、变换或动画。

常见问题

飞艇折叠有什么不同?

飞艇只对实部取绝对值折叠,虚部则由带符号的 x 与 y 的绝对值耦合而成。燃烧船的两个坐标在平方前各自折叠。飞艇的折叠不对称——x 被镜像,但 y 在乘积 x·|y| 中保留其符号,随后整体再参与平方。

这个公式必须使用反演变换吗?

不需要。反演能把飞艇不对称的瓣体展开成层叠翼状形态。但飞艇公式本身已经完整,无需空间变换即可产生其特征形状。

参考资料

源码导读

  1. frm-v1:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:init/0

    初始化节点执行: `if ismand`

  2. frm-v1:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:loop/0

    循环节点执行: `safeY = (1, 0)`

  3. frm-v1:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:loop/1

    循环中的分支从此处开始: `if abs(imag(z)) >= 1e-10`

  4. frm-v1:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:bailout

    终止测试为: `|z| <= 256`

语法特征

source-sequence

此结构把所引用的源代码步骤组织为一个可检查的顺序。 38c3b212-c33b-5dd3-aae5-a514fc7e37e3:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:init, 38c3b212-c33b-5dd3-aae5-a514fc7e37e3:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:loop, 38c3b212-c33b-5dd3-aae5-a514fc7e37e3:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:branch, 38c3b212-c33b-5dd3-aae5-a514fc7e37e3:824eda8dc180b39ab6c7e32f187530e1c35edeaec7db3f9d00c7a7acef78df63:bailout

参数实验

步骤

  1. 使用固定配置:mode parameter-plane; center (-0.5, 0); zoom 0.4; rotation 0; iterations 96。运行一次并记录结果;再以同一配置重复运行。

观察要点

比较两次运行,记录`safeY = (1, 0)`是否得到相同的可见结果和迭代行为。

练习

按源顺序说明airship的四个引用注释:`if ismand`、`safeY = (1, 0)`、受保护的safeY分支和`|z| <= 256`。

完成检查

完成时列出这四个注释键,并按`if ismand`、`safeY = (1, 0)`、受保护的safeY分支、`|z| <= 256`的源顺序排列。

来源与权利

来源:

权利:

公式档案

airship

该 FractalPark 规范实现已发布并可运行。

airship 的确定性预览

规范源码

语言
frm-like/1
标准库
1
Profile 模式
parameter-plane
Profile 中心
-0.5, 0
Profile 缩放
0.4
Profile 迭代次数
96
Profile 证据等级
mechanical

参数

没有声明参数

规范源码

这是经过验证的只读规范版本。Remix 会创建一份独立的可编辑分支。

正在加载规范源码…

来源与当前实现

公式 ID
38c3b212-c33b-5dd3-aae5-a514fc7e37e3
规范名称
airship
原始名称
airship
历史来源
FractalPark
当前实现
项目自有

这是 FractalPark 项目自有实现。所链接文件是固定版本的规范 Definition。

对权利或署名有异议?

请附上公式 ID 和支持证据。维护者可在复核期间暂缓或撤下该实现。 contact@fractalpark.com