FractalPark
奇异进阶

反演兰姆达

一种在复 Logistic 递推中加入有理二次项的混合映射,让可移动极点进入轨道。

在探索器中打开
暗色瓣体被亮色断层线和绳结状结构切开的反演兰姆达分形
反演兰姆达参数平面:有理修正切进 Logistic 瓣体,留下接缝和突变尺度。

概览

反演兰姆达从兰姆达分形的 Logistic 递推起步,再加一个有理修正项。第一项 c·z(1−z) 是标准复 Logistic 映射;第二项 0.18/(z² + c) 是倒数二次因子,分母靠近零时,能把轨道甩到很大的数值。

多出这一项,规矩就变了。纯 Logistic 映射是处处光滑的多项式,反演兰姆达则是带可移动极点的有理映射。轨道会因无界增长而逃逸,也会因擦过除数而冲向无穷。父代的圆润瓣体还在,只是被锯齿接缝、绳结般纠缠和突变尺度切开。

常数 0.18 固定不动,不是另一个参数。它让多项式项和有理项都能在适当次数的迭代里影响轨道。

数学原理

兰姆达倒数迭代

z(n+1) = c z(n)(1 - z(n)) + 0.18 / (z(n)^2 + c)

每一步把两份贡献相加。第一项 c·z(1−z) 是产生兰姆达参数集的二次 Logistic 步骤;第二项是有理修正,分子固定为 0.18,分母是 z² + c。分母很大时,修正很小,迭代几乎沿着纯 Logistic 映射走;z² + c 靠近零时,它会猛增,可能把轨道推远。

取 c = 1 + i,从 z₀ = 0 开始。第一项:1 × 0 × 1 = 0。第二项:0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i。因此 z₁ ≈ 0.09 − 0.09i:一次小小偏移,轨道离开 Logistic 基准线。往后走,有理项还会继续牵引,留下纯 Logistic 族没有的轨迹。分母 z² + c 标出极点——接近奇点的值——它们会随 c 移动。

历史

反演兰姆达是一个混合构造,接上了复动力系统中两个研究充分的族。Logistic 基项来自 Mandelbrot(1980)研究的兰姆达分形传统。在多项式映射上叠加倒数二次项的想法,与 Curt McMullen 在 1980 年代末为形如 zⁿ + λ/zⁿ 的有理映射探索的奇异摄动有关。

把 Logistic 映射和分子固定的倒数二次项这样配在一起,似乎是为分形渲染设计的新公式。它找不到一篇单独的历史论文作源头,而是借用了复动力系统数十年发展出的思路。“反演兰姆达”描述的是构造方式,并非研究文献中的既定术语。

视觉特征

反演兰姆达的参数平面保留了 Logistic 族的圆润瓣体,但尖锐接缝、密集绳结和颜色骤然加深或变亮的局部区域切进其中。靠近极点时,轨道大幅跳跃,逃逸时间着色便记录下这处断裂。

它像一块从内部裂开的平滑表面。远离极点,父代兰姆达的轮廓仍能认出;有理修正则在上面刻出棱角分明、近似晶体的细节。

再创作与示例

从 canonical Document 开始

打开本指南使用的同一份已审定公式状态,再在交互式探索器中调整视图、着色、变换或动画。

常见问题

这个公式反演了什么?

“反演”说的是加进 Logistic 递推的倒数项,不是图像的几何翻转,也不是参数平面的反射。倒数二次项 1/(z² + c) 就是名称所指的“反演”。

极点可能在哪里出现?

当分母 z² + c 为零时出现极点——即 z = ±√(−c)。c 是自由参数,极点位置随正在探索的参数值而变。轨道可能擦过这些值,使有理项剧增,轨迹突然远跳。

参考资料

源码导读

  1. frm-v1:5aa4f9b2c35d3bded213756bb80da01f95fef7ee766779a7f02090a1116a0e9a:init/0

    在 invertedLambda 中,初始化节点仅执行:ismand 分支把 z 设为 0,否则设为 pixel。

  2. frm-v1:5aa4f9b2c35d3bded213756bb80da01f95fef7ee766779a7f02090a1116a0e9a:loop/0

    在 invertedLambda 中,此循环节点仅执行:oneMinusZ = (1, 0) - z。

  3. frm-v1:5aa4f9b2c35d3bded213756bb80da01f95fef7ee766779a7f02090a1116a0e9a:bailout

    在 invertedLambda 中,bailout 节点仅测试:|z| <= 256。

语法特征

initialization-flow

在 invertedLambda 中,初始化特征聚焦 ismand 分支把 z 设为 0,否则设为 pixel 这一个起始操作。

iteration-flow

在 invertedLambda 中,迭代特征聚焦 oneMinusZ = (1, 0) - z 这一个循环赋值。

bailout-test

在 invertedLambda 中,终止特征聚焦比较 |z| <= 256。

参数实验

步骤

  1. 以固定参数平面基线渲染 invertedLambda:中心 (-0.5, 0)、缩放 0.4、旋转 0、96 次迭代。
  2. 除迭代次数外保持基线不变,以 48 次迭代再渲染一次,并与 96 次迭代的基线比较。

观察要点

在 invertedLambda 中,记录 48 次与 96 次迭代的比较是否出现差异,并标出源代码限制 |z| <= 256。

练习

在 invertedLambda 中,找出三个注释:分别说明 ismand 分支把 z 设为 0,否则设为 pixel、oneMinusZ = (1, 0) - z 和 |z| <= 256,并解释为什么相邻语句不属于循环注释。

完成检查

在 invertedLambda 中,完成时应列出全部 3 个注释键,并准确说明 oneMinusZ = (1, 0) - z 与 |z| <= 256 的作用。

来源与权利

来源说明见英文事实单元。

权利说明见英文事实单元。

公式档案

invertedLambda

该 FractalPark 规范实现已发布并可运行。

invertedLambda 的确定性预览

规范源码

语言
frm-like/1
标准库
1
Profile 模式
parameter-plane
Profile 中心
-0.5, 0
Profile 缩放
0.4
Profile 迭代次数
96
Profile 证据等级
mechanical

参数

没有声明参数

规范源码

这是经过验证的只读规范版本。Remix 会创建一份独立的可编辑分支。

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来源与当前实现

公式 ID
c6b5dcf4-cef5-5630-b3f6-a68b92ae75ee
规范名称
invertedLambda
原始名称
invertedLambda
历史来源
FractalPark
当前实现
项目自有

这是 FractalPark 项目自有实现。所链接文件是固定版本的规范 Definition。

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