牛顿高级

双曲余弦牛顿分形

对 cosh z = 1 使用牛顿法：无穷多个等距重复的根，把平面排成一层层收敛色带。

FractalPark 渲染的 cosh z = 1 牛顿分形：收敛色带沿虚轴重复，带间边界弯折为细丝。

概览

牛顿求根法一旦取 f(z) = cosh z − 1，画面就换了脾气。它的根是所有形如 2πik（k 为整数）的值。多项式只有有限个终点；这里的根却沿虚轴等距排开，没有尽头。于是画面不只分成几块盆地，而是上下接出一层层水平收敛带。

迭代式 N(z) = z − (cosh z − 1) / sinh z 是亚纯函数：除奇点外，它在复平面上都有定义。两组位置牵动轨道：cosh z − 1 的周期性根，以及分母 sinh z 的零点 z = πik。靠近后者，初值只挪一点点，最后抵达的根就可能变掉。

虚方向的周期性在图上很直观：水平色带一层层重复。每条带对应根的一个周期；交接处的细竖丝，勾出盆地之间交手的位置。

数学原理

cosh 的牛顿迭代

z_{n+1}=z_n-\frac{\cosh z_n-1}{\sinh z_n}

牛顿法的规则是 N(z) = z − f(z) / f′(z)。这里取 f(z) = cosh z − 1、f′(z) = sinh z；每一步先算出修正量 (cosh z − 1) / sinh z，再从 z 里减去它。

方程 cosh z = 1 有无穷多解：z = 2πik，k 为任意整数。它们全是单根：cosh z 在根旁线性增长，牛顿法便在附近二次收敛。远离实轴后，cosh 和 sinh 的指数增长会让修正项忽大忽小；图中的敏感边界便从这里冒出来。

试试 z₀ = 0.2i。由于 i·sinh(0.2) ≈ 0.201i，cosh(0.2) ≈ 1.020，第一次修正很小，轨道很快收敛到 z = 0 处的根。再取 z₀ = 0.5 + 3.0i，它离每个根都远些。cosh 和 sinh 的大指数项会卷进修正，轨道可能跨过几个盆地边界才落定；也可能在根之间混沌地绕许多圈，最后才被某一个捕获。

函数在虚方向以 2πi 为周期，牛顿映射也继承相同的周期性：N(z + 2πi) = N(z) + 2πi。图中的水平带状结构因此反复出现。

视觉特征

先看沿虚轴叠起的水平色带。根的一个周期对应一条带，带里的收敛图样会在上下重现。边界不走直线：它们弯折、回卷，拉出细细的竖丝，像绷紧的线。

每条带里的盆地几何都和上下相似，却带着微小变形，像反复折过的缎带。冷暖交替来自配色；颜色突然断开的地方，是 sinh z 的奇点让牛顿修正失去稳定。

再创作与示例

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常见问题

这个迭代求解什么方程？

它寻找 cosh(z) = 1 的复数解：z = 2πik，k 为任意整数。无穷多个根沿虚轴等距排开。每个根都会拉住附近的牛顿轨道，于是水平色带不断重复。

为什么有些区域非常敏感？

牛顿修正项要除以 sinh(z)，而 sinh(z) 在 z = πik（k 为整数）处为零。靠近这些点，修正量会猛增，轨道可能跳过好几层盆地边界才收敛。它们不是根，却在图中扯出细竖丝和不安分的边界区。

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