Cosh Mandelbrot

Cosh Mandelbrot deja atrás el paso polinomial familiar. En lugar de repetir z² + c, repite z → cosh(z) + c. La elevación al cuadrado se reemplaza por el crecimiento exponencial del coseno hiperbólico a lo largo del eje real y su repetición de 2π a lo largo del eje imaginario.

El coseno complejo y el coseno hiperbólico son parientes cercanos: cada uno se repite en una dirección y crece sin límite en otra. Para cosh(z), el periodo a lo largo del eje imaginario es 2π, así que una banda de detalle regresa por encima y por debajo de sí misma. Cuando |Re(z)| es grande, sus términos exponenciales salen disparados. La mayoría de los puntos de partida escapan rápido; solo bandas delgadas retienen una órbita —manteniendo sus valores sucesivos acotados durante muchos pasos.

El plano de parámetros ya no se parece al cardioide y los bulbos del conjunto de Mandelbrot. En su lugar apila abanicos, penachos dorados y ecos verticales. Su línea entre la fuga y la no fuga la traza la propia iteración trascendente; no hay un radio de escape algebraico simple disponible.

En 1988, Clifford A. Pickover, científico informático y autor del Thomas J. Watson Research Center de IBM, publicó el artículo breve "Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ)" en The Visual Computer. Presentó imágenes de comportamiento caótico producido por esta función trascendental, junto a mapas como z → sin(z) + c y z → eᶻ + c.

El trabajo de Pickover llevó el mapa basado en cosh a la comunidad de representación de fractales, donde se convirtió en un ejemplo estándar de tiempo de escape trascendental. Antes, matemáticos como Robert Devaney y Michał Krych habían desarrollado el estudio más amplio de la dinámica compleja trascendental —familias exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas— y analizaron la dinámica de exp(z) en la década de 1980.

Primero observe la repetición vertical. Como cosh(z) se repite en la dirección imaginaria cada 2π, penachos finos, abanicos en capas y filamentos dorados vuelven a intervalos regulares. El resultado es estriado y escalonado, lejos de la ramificación radial de los conjuntos de Mandelbrot polinómicos.

En la representación canónica, los penachos y abanicos suelen tener tonos cálidos. El detalle más fino se concentra en bandas horizontales estrechas, donde una órbita permanece cerca del límite entre escape y no escape. Por encima y por debajo, el escape se acelera y la imagen se suaviza.