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Inverted Lambda

Un mapa híbrido que agrega un término cuadrático racional a la recurrencia logística compleja, trayendo polos móviles a la órbita.

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$El fractal Inverted Lambda con lóbulos oscuros divididos por líneas de falla brillantes y estructuras tipo nudo$

El plano de parámetros de Inverted Lambda: lóbulos logísticos interrumpidos por la corrección racional, con costuras y cambios bruscos de escala.

Resumen

Inverted Lambda parte de la recurrencia logística del fractal Lambda y agrega una corrección racional. El primer término, c·z(1−z), es el mapa logístico complejo estándar. El segundo, 0.18/(z² + c), es recíproco y cuadrático; cuando su denominador se acerca a cero, puede lanzar la órbita a valores muy grandes.

Esa fracción cambia las reglas. El mapa logístico simple es un polinomio, suave en todas partes; Inverted Lambda es un mapa racional con polos móviles. Una órbita puede irse al infinito por crecimiento sin cota, o por acercarse demasiado al divisor. Los lóbulos redondos del padre se mantienen, pero costuras dentadas, enredos tipo nudo y cambios bruscos de escala los atraviesan.

El 0.18 es fijo, no otro parámetro. Mantiene activas tanto la contribución polinomial como la racional dentro de un número moderado de iteraciones.

Las matemáticas

Lambda-reciprocal iteration

z_{n+1}=c z_n(1-z_n)+\frac{0.18}{z_n^2+c}

Every step combines two contributions. First comes c·z(1−z), the quadratic logistic step behind the Lambda parameter set. Then comes a rational correction with fixed numerator 0.18 and denominator z² + c. A large denominator makes that correction small, so the map nearly follows the pure logistic version. Near z² + c = 0, it surges and may send the orbit far away.

Take c = 1 + i and start at z₀ = 0. The first term gives 1 × 0 × 1 = 0. The second term: 0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i. So z₁ ≈ 0.09 − 0.09i: a small nudge away from the logistic baseline. On later steps the rational term keeps steering, creating paths unavailable to the pure logistic family. The denominator z² + c marks the poles—near-singular values—and their positions move with c.

Historia

Inverted Lambda is a hybrid construction joining two well-studied complex-dynamics families. Its logistic base comes from the lambda fractal tradition studied by Mandelbrot (1980). Adding a reciprocal quadratic term to a polynomial map relates to singular perturbation, which Curt McMullen explored in the late 1980s for rational maps zⁿ + λ/zⁿ.

This particular pairing—a logistic map and a reciprocal quadratic with a fixed constant numerator—appears to be a novel fractal-rendering formulation. It does not trace to one historical paper; it draws on ideas developed across decades of complex-dynamics research. “Inverted Lambda” describes the construction rather than a term from the research literature.

Características visuales

The parameter plane keeps the logistic family’s rounded lobes, but sharp seams, dense knots, and patches where color suddenly deepens or brightens interrupt them. Near a pole, an orbit makes a large jump, and the escape-time coloring records that break.

It can resemble a smooth surface cracked from within. Far from the poles, the parent Lambda structure is still legible; the rational correction draws angular, crystalline detail across it.

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Preguntas frecuentes

What is inverted in this formula?

“Inverted” names the reciprocal term added to the logistic recurrence. It is not a geometric flip of the image or a reflection of the parameter plane. The reciprocal quadratic term 1/(z² + c) is the inversion meant here.

Where can poles occur?

A pole occurs wherever the denominator z² + c is zero — that is, when z = ±√(−c). Since c is free, pole locations depend on the parameter being explored. An evolving orbit may pass close to one, making the rational term spike and the trajectory jump far away.