ExóticaDifícil

Zaslavsky Map

Un mapa seno complejo: el seno dobla la órbita, un giro fijo de 0.55 radianes la rota y c la desplaza —una adaptación inspirada en el mapa disipativo de rotor golpeado de George Zaslavsky de 1978.

Abrir en Explorar

El mapa de Zaslavsky renderizado por FractalPark: arcos concéntricos y radios que irradian forman un mandala brillante en naranjas cálidos y dorados.

Resumen

El mapa de Zaslavsky dobla una órbita con el seno, gira el resultado por la fase compleja fija (e^{0.55i}) y luego suma c. Un mapa polinomial de fuga obtiene su carácter de potencias de z cada vez más grandes. Aquí la trama viene de dobleces periódicos que se encuentran con un giro constante.

En 1978, George M. Zaslavsky presentó el mapa original para modelar un rotor golpeado disipativo: un cuerpo en rotación que recibe golpes repetidos mientras la fricción drena energía. Ese mapa clásico es bidimensional y usa variables reales de acción-ángulo. FractalPark reformula la idea en una variable compleja: el seno aporta el golpe no lineal, el multiplicador complejo fijo aporta el giro, y c hace posibles las imágenes de tiempo de escape con barrido de parámetros.

El seno complejo puede crecer sin límite a lo largo del eje imaginario, así que esto no es una fuga polinomial simple. Una órbita puede dar vueltas un rato y luego desarmarse. Esa vacilación deja brazos arremolinados y anillos concéntricos, especialmente después de una transformación espacial caleidoscópica.

Las matemáticas

Sinusoidal rotation map

z_{n+1}=e^{0.55i}\left(z_n+0.28\sin z_n\right)+c

Sine bends z; the fixed complex multiplier turns it; c shifts the result.

Start on the real axis. For z₀ = (0, 0), sin(0) = 0, so z₁ = e^{0.55i} × 0 + c = c. After that, complex sine can grow: the magnitude of sin(a + ib) contains terms up to cosh(b). A point with a large imaginary coordinate gets a large kick from sine, and is more likely to escape.

The 0.55-radian rotation (about 31.5°) is not a parameter; it is hard-coded in the formula. Every orbit gets the same angular twist each time. Hence the swirls.

Historia

George M. Zaslavsky (1929–2008) was a Soviet‑born mathematical physicist who made foundational contributions to the theory of dynamical chaos. He introduced the map that now bears his name in a 1978 paper titled "The Simplest Case of a Strange Attractor," published in Physics Letters A. The map was derived as a stroboscopic description of a dissipative kicked rotor — a rotating system that receives periodic impulses and loses energy through friction.

Zaslavsky later moved to the United States, joining New York University's physics department and the Courant Institute of Mathematical Sciences. He authored several books on Hamiltonian chaos and fractional dynamics. The Scholarpedia article on the Zaslavsky map, written by Zaslavsky himself in 2007, provides an authoritative technical reference.

Classical Zaslavsky maps operate on two real variables (action and angle). The complex variant used by FractalPark, with its sine perturbation and fixed complex multiplier, is a creative adaptation suitable for escape‑time rendering rather than a direct transcription of the original dissipative system.

Características visuales

Kaleidoscopic transforms make the swirling arms and mandala-like rings especially clear. The canonical image sets concentric arcs and radiating spokes around a central region where the sine perturbation keeps orbits bounded.

Warm oranges and golds sit against deep black in the canonical rendering. Constant rotation curves the arms; sine puts fine ripples along the ring edges.

Remix y ejemplos

Empieza desde el Documento canónico

Abre el mismo estado de fórmula aprobado que usa esta guía y luego cambia la vista, la coloración, las transformaciones o la animación en el Explorar interactivo.

Remix en Explorar Abrir el Editor de fórmulas

Penitent Mandala

Ver obra

Preguntas frecuentes

Where does the rotation come from?

The map multiplies the perturbed orbit by e^{0.55i}, the unit complex number that turns the plane about 31.5° counter-clockwise. It happens on every iteration and is fixed in the formula, not adjustable by the user. The 0.55-radian value was chosen empirically for balanced swirls.

Is kaleidoscope part of the formula?

No. Kaleidoscope is an optional spatial transform outside the iteration. It reflects or copies sectors of the parameter plane. The Zaslavsky Map has no built-in reflection symmetry; the kaleidoscope is a separate rendering step that can be switched independently.