Cosh Mandelbrot

Cosh Mandelbrot laisse derrière lui l'étape polynomiale familière. Au lieu de répéter z² + c, il répète z → cosh(z) + c. La mise au carré est remplacée par la croissance exponentielle du cosinus hyperbolique le long de l'axe réel et sa répétition de période 2π le long de l'axe imaginaire.

Le cosinus complexe et le cosinus hyperbolique sont proches parents : chacun se répète dans une direction et croît sans limite dans une autre. Pour cosh(z), la période sur l'axe imaginaire est 2π, si bien qu'une bande de détail revient au-dessus et en dessous d'elle-même. Quand |Re(z)| est grand, ses termes exponentiels filent vers l'extérieur. La plupart des points de départ s'échappent vite ; seules de minces bandes retiennent une orbite — gardant ses valeurs successives bornées pendant de nombreuses étapes.

Le plan des paramètres ne ressemble plus à la cardioïde et aux bulbes de l'ensemble de Mandelbrot. Il empile des éventails, des panaches dorés et des échos verticaux. Sa ligne entre fuite et non-fuite est tracée par l'itération transcendante elle-même ; aucun rayon de fuite algébrique simple n'est disponible.

En 1988, Clifford A. Pickover, informaticien et auteur au Thomas J. Watson Research Center d’IBM, a publié le court article « Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ) » dans The Visual Computer. Il y présentait des images de comportement chaotique produit par cette fonction transcendante, aux côtés de cartes telles que z → sin(z) + c et z → eᶻ + c.

Les travaux de Pickover ont fait connaître la carte fondée sur cosh dans la communauté du rendu fractal, où elle est devenue un exemple classique de temps de fuite transcendant. Auparavant, des mathématiciens tels que Robert Devaney et Michał Krych avaient développé l’étude plus générale de la dynamique complexe transcendante — familles exponentielles, trigonométriques et hyperboliques — et analysé la dynamique de exp(z) dans les années 1980.

Remarquez d’abord la répétition verticale. Comme cosh(z) se répète dans la direction imaginaire tous les 2π, de fins panaches, des éventails en couches et des filaments dorés reviennent à intervalles réguliers. Le résultat est strié et étagé, très différent de la ramification radiale des ensembles de Mandelbrot polynomiaux.

Dans le rendu canonique, les panaches et les éventails prennent souvent des tons chauds. Les détails les plus fins se concentrent dans d’étroites bandes horizontales, où une orbite s’attarde près de la frontière entre fuite et non-fuite. Au-dessus et au-dessous, la fuite s’accélère et l’image devient plus lisse.