Newton Cosh

La règle de Newton est N(z) = z − f(z) / f′(z), avec f(z) = cosh z − 1 et f′(z) = sinh z. On soustrait la correction (cosh z − 1) / sinh z, égale à tanh(z/2) hors des zéros de sinh z.

Les solutions de cosh z = 1 sont z = 2πik et toutes sont des racines doubles. Près d’elles, l’erreur est environ divisée par deux à chaque pas : la convergence est linéaire, et non quadratique. Le dénominateur s’annule à chaque πik, mais les vrais pôles sont les multiples impairs (2k+1)πi.

Pour z₀ = 0.2i, la correction est tanh(0.1i) = i tan(0.1) ≈ 0.1003i, donc z₁ ≈ 0.0997i. Près de πi elle peut devenir très grande. L’implémentation borne la composante réelle et laisse le pas inchangé lorsque |sinh(z)|² < 1e-10 : ce sont des protections numériques, et non des affirmations sur l’application dépourvue de ces protections.

La période est 2πi : N(z + 2πi) = N(z) + 2πi.