Cosh Mandelbrot

Cosh Mandelbrot는 익숙한 다항식 단계를 뒤로한다. z² + c를 반복하는 대신 z → cosh(z) + c를 반복한다. 제곱은 실수축을 따른 쌍곡코사인의 지수적 성장과 허수축을 따른 2π 반복으로 대체된다.

복소 코사인과 쌍곡코사인은 가까운 친척이다. 각각 한 방향으로 반복되고 다른 방향으로 무한히 성장한다. cosh(z)의 허수축 주기는 2π이므로 세부 띠가 자기 위와 아래에서 되돌아온다. |Re(z)|가 크면 지수 항이 바깥으로 빠르게 뻗는다. 대부분의 시작점은 빠르게 탈출하며, 가느다란 띠만이 궤도를 붙잡아 연속된 값이 여러 단계 동안 유계로 남게 한다.

매개변수 평면은 더 이상 Mandelbrot 집합의 심장형과 구근을 닮지 않는다. 대신 부채, 금빛 깃털, 세로 메아리를 쌓아 올린다. 탈출과 비탈출의 경계는 초월 반복 자체가 그리며, 단순한 대수적 탈출 반지름은 없다.

1988년 IBM Thomas J. Watson Research Center의 컴퓨터 과학자이자 저술가인 Clifford A. Pickover는 The Visual Computer에 "Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ)"라는 짧은 논문을 발표했다. 그는 z → sin(z) + c와 z → eᶻ + c 같은 사상과 함께 이 초월 함수가 만든 혼돈 거동의 이미지를 제시했다.

Pickover의 작업은 cosh 기반 사상을 프랙탈 렌더링 커뮤니티에 알렸고, 그곳에서 표준적인 초월 탈출 시간 예제가 되었다. 그보다 앞서 Robert Devaney와 Michał Krych 등을 포함한 수학자들은 초월 복소 동역학의 더 넓은 연구, 즉 지수·삼각·쌍곡 함수족을 발전시키고 1980년대에 exp(z)의 동역학을 분석했다.

먼저 세로 반복에 주목한다. cosh(z)는 허수 방향에서 2π마다 반복되므로 가는 깃털, 층진 부채, 금빛 필라멘트가 일정한 간격으로 되돌아온다. 결과는 줄무늬와 층을 이루며, 다항식 Mandelbrot 집합의 방사형 가지치기와 크게 다르다.

표준 렌더링에서 깃털과 부채는 흔히 따뜻한 색조를 띤다. 가장 미세한 세부는 궤도가 탈출과 비탈출의 경계 근처에 오래 머무는 좁은 수평 띠에 집중된다. 그 위와 아래에서는 탈출이 빨라지고 영상이 더 매끄러워진다.