Newton Cosh

f(z) = cosh z − 1일 때 뉴턴의 일반적인 근 찾기 단계는 성격이 달라진다. 그 근은 모든 정수 k에 대해 2πik이고 각각 중근이다. 다항식에서는 궤도가 도달할 수 있는 목적지가 유한하지만, 이 근들은 허수축을 따라 같은 간격으로 끝없이 이어진다. 따라서 프랙탈은 몇 개의 분지에 머무르지 않고 위아래로 이어지는 띠를 이룬다.

영점에서 벗어나면 보정량 (cosh z − 1) / sinh z는 tanh(z/2)로 간단해진다. 분모 sinh z는 모든 πik에서 0이 된다. 짝수배는 근이므로 간단해진 몫에서 제거 가능하지만, 진짜 극점과 민감한 특이점은 홀수배 (2k+1)πi이다. 이 홀수배 근처에서는 시작점의 작은 변화가 단계를 크게 바꿀 수 있다.

허수축을 따른 주기성은 수학 배경 없이도 한눈에 볼 수 있다. 수평 띠는 근의 각 주기마다 위아래로 반복된다. 띠가 만나는 곳에서는 한 분지가 궤도를 다음 분지로 넘기는 위치를 가는 수직 실이 기록한다.

허수축을 따라 수평 띠가 겹친다. 한 주기의 근이 한 띠를 만들고 다음 띠에서 수렴 무늬가 반복된다. 경계는 굽고 접히며 가는 수직 실을 만든다.

각 띠의 분지 기하는 이웃과 닮아 있다. 뚜렷한 끊김은 뉴턴 보정에 진짜 극점이 있는 πi의 홀수배 근처에 모인다.