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Perpendicular Celtic

Perpendicular 계열의 이차 사상이에요. 제곱 전에 실수부를 접고, 결과의 실수부를 다시 접으면 경계가 땋은 머리처럼 매듭져요.

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땋은 띠, 거울 대칭 아치, 도자기 같은 고리를 가진 Perpendicular Celtic 프랙탈
Perpendicular Celtic: 맞물린 띠와 거울 대칭 아치, 가장자리에서 날카롭게 접히고 안쪽에서 고리를 이뤄요.

개요

Perpendicular Celtic은 Perpendicular Burning Ship, Perpendicular Buffalo와 함께 버닝 쉽 변형의 Perpendicular 계열에 속해요. 핵심 동작은 이중 접기예요. 제곱하기 전에 실수 성분을 접고, 그 결과의 실수 성분을 다시 접어요. 허수 성분은 두 번째 접기를 거치지 않아요.

반복할 때마다 경계가 두 번 방향을 바꿔요. 땋고 얽힌 형태가 나타나기 시작하는데, 켈트 매듭(Celtic knotwork)과 비슷해서 이름이 붙었어요. 거울 대칭의 아치, 도자기 같은 고리, 탈출 시간 띠가 날카로운 접힘에서 직각으로 꺾여요.

어떤 영역에서는 버닝 쉽 변형들과 달리 실수축과 허수축 양쪽에 대칭이에요. 그 이유는 수직(perpendicular) 배열 덕분이에요. 접기가 한 번에 두 축이 아니라 한 축씩 직교로 작용하거든요.

수학

Perpendicular Celtic iteration

Fold the real input, square it, fold the resulting real part, then add c

First fold the real input: construct z' = |xₙ| + iyₙ. Square it: (z')² = (|xₙ|² − yₙ²) + i(2·|xₙ|·yₙ). Then fold the real part of that result: zₙ₊₁ = ||xₙ|² − yₙ²| + i(2·|xₙ|·yₙ) + c.

The double fold reflects the real component twice per iteration: before the square, negative x mirrors to positive; after it, a negative resulting real part mirrors to nonnegative. The imaginary component folds only indirectly, through |xₙ| in the cross term.

Consider c = −0.5. For the Mandelbrot set: z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, bounded. For the Perpendicular Celtic: z₁ = ||0|² − 0²| + i(2·|0|·0) − 0.5 = 0 − 0.5 = −0.5, then z₂ = ||−0.5|² − 0²| + i(2·|−0.5|·0) − 0.5 = |0.25| − 0.5 = −0.25, same orbit. But try c = 0.3i: the double fold redirects the orbit in a way that neither the Mandelbrot set nor the Burning Ship reproduces.

역사

Perpendicular Celtic belongs to the “Perpendicular” Burning Ship family, with Perpendicular Burning Ship, Perpendicular Buffalo, and related forms. Like the others, it came from the fractal art community rather than academic research.

“Celtic” names the visual resemblance to Celtic knotwork made by the double fold. “Perpendicular” names the folds’ orthogonal placement: first on the real coordinate before squaring, then on the real part of the result.

It appears in formula browsers supporting custom iterations, including Ultra Fractal, Fractal Extreme, and Mandelbrowser. The earliest documented instances are in online fractal forums and fractal wiki pages cataloging Burning Ship variants.

시각적 특징

Braided bands, mirrored arches, and porcelain-like loops gather at folds where escape-time color turns at right angles. From far out, the structure is symmetric across both axes; deeper in, fine asymmetries appear.

리믹스와 예제

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자주 묻는 질문

Why are absolute values used twice?

The folds act at different moments: the first absolute value folds the real input before squaring; the second folds the squared result’s real part. The real component is therefore reflected twice per iteration, changing how the orbit responds to the parameter c. Compared with the single-fold Burning Ship, the boundary becomes finer and more braided.

Is it simply a rotated Burning Ship?

No. It is related to the Burning Ship through absolute-value folds, but it places them differently in the quadratic step. The Burning Ship folds both raw coordinates before squaring. Perpendicular Celtic folds the real coordinate before squaring and then folds the result’s real part again. That two-stage order gives the orbit a different geometry and a distinct symmetry.

참고 자료