버닝 쉽쉬움

Burning Ship

이차 탈출 시간 프랙탈이에요. 제곱 전에 두 좌표를 절댓값으로 접으면 색 띠가 비대칭의 배 모양 윤곽을 만들어요.

버닝 쉽: 쐐기 모양 선체, 실수축 위의 불꽃 같은 능선, 층층이 쌓인 탈출 시간 띠.

개요

버닝 쉽은 만델브로 집합과 아주 가까운데, 한 가지 변화가 모든 것을 바꿔요. 제곱할 때마다 z의 실수부와 허수부를 각각 절댓값으로 바꿔요. 궤도가 축 쪽으로 접히면서 이차 사상의 회전 대칭이 사라져요. 이 사상은 더 이상 해석적이지 않아요. 코시–리만 방정식을 만족하지 않거든요. 가장자리를 따라 단단한 모서리가 나타나요.

실수축을 수평으로, 허수축을 뒤집어 놓는 일반적인 표시 관례를 쓰면, 그 접힘이 불타는 배를 떠올리게 해요. 쐐기 모양의 선체가 불꽃 같은 능선 아래에 자리 잡아요. 왼쪽의 실수선을 따라 더 작은 배들이 같은 톱니 윤곽을 반복해요.

일반적인 탈출 반지름 테스트는 여전히 유효해요. |z|가 2를 넘으면 발산이 확실하거든요. 하지만 이 비해석적 궤도는 더 이상 복소해석 함수처럼 행동하지 않아요. 탈출 시간 띠가 만델브로 집합의 부드러운 방사형 그라데이션 대신 단단한 가장자리의 층과 겹겹의 직사각형 경계로 쌓여요.

수학

Fold, then square

z_{n+1}=(|\operatorname{Re}z_n|+i|\operatorname{Im}z_n|)^2+c

Both real and imaginary components are reflected to nonnegative values, combined into a complex number, then squared. In expanded form, the real part is xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + Re(c) and the imaginary part is yₙ₊₁ = 2|xₙ||yₙ| + Im(c). At every iteration, the absolute values fold the orbit back toward the axes: if xₙ or yₙ is negative, it is mirrored to positive before the squaring step. That fold produces the sharp, rectangular boundaries that set the Burning Ship apart from the Mandelbrot set’s smooth contours.

Try c = −1. For the Mandelbrot set, the orbit z₀=0, z₁=−1, z₂=0, z₃=−1, … stays bounded (period 2). For the Burning Ship, z₁ = (|0| + i|0|)² − 1 = −1, then z₂ = (|−1| + i|0|)² − 1 = 0, and the orbit settles into the same 2-cycle. Now take a point such as c = i: the fold redirects its orbit where the Mandelbrot iteration would not, producing a different escape decision.

역사

In 1992, Michael Michelitsch and Otto E. Rössler first described and rendered the Burning Ship in a Computers & Graphics paper. Both were then researchers at the University of Tübingen (Eberhard Karls Universität Tübingen). Their paper gave the iteration and showed that the absolute-value fold produces what they called a “quasi-Julia set”: it resembles a classical Julia set, but arises from a non-analytic map.

The name “Burning Ship” comes from a close view near the real axis: a dark hull below, flame-like ridges above. Paul Bourke independently implemented the fractal in October 1993, crediting Michelitsch and Rössler; his page became an early online reference.

Because it is a non-analytic alteration of the Mandelbrot recurrence, the formula falls outside the classical complex-dynamics theory Fatou and Julia developed for analytic functions. It has since become one of the most widely explored non-analytic escape-time fractals. Buffalo, Airship, Celtic, and Perpendicular variants rearrange which coordinates are folded and when.

시각적 특징

Dark hulls, flame-like masts, and chimney shapes rise through folded layers. Set beside the Mandelbrot set, the asymmetry is immediate.

리믹스와 예제

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Cinder Rift

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자주 묻는 질문

What changed from the Mandelbrot set?

Taking absolute values component by component breaks the Mandelbrot set’s rotational symmetry and makes the map non-analytic. Rounded boundaries become angled edges and nested rectangles; escape-time color settles into bands rather than smooth radial gradients.

Why is the ship sometimes upside down?

The canonical formula puts the ship upside down because absolute values turn negative imaginary coordinates positive before squaring. Most renderers, including FractalPark, reflect the image vertically for display. A screen whose Y-axis points down can add a second flip, so the final orientation depends on where the renderer applies that reflection.

개요

수학