이색쉬움

Zubieta

매 단계마다 z² + c의 두 성분을 음이 아닌 사분면으로 접는 이차 사상이에요. 이중 거울 대칭과 콤팩트한 만다라 같은 형태를 만들어요.

FractalPark이 렌더링한 Zubieta 프랙탈 (“Kaleido Amber Mandala”): 이중 거울 대칭이 콤팩트한 돌출부와 타일처럼 깔린 실을 만화경 같은 만다라로 배열해요.

개요

Zubieta는 고전 만델브로 반복의 “절댓값” 사촌이에요. 평소처럼 zₙ² + c를 갱신한 다음 실수부와 허수부에 각각 절댓값을 취해요. 이건 두 성분을 하나의 실수로 뭉개는 복소 크기가 아니에요. 종이를 두 축을 따라 접는 걸 상상해 보세요. 복소 구조는 그대로지만 각 좌표는 음이 아닌 사분면으로 돌아와요.

그 접기를 반복하면 궤도는 계속 제1사분면으로 돌아오거나 통과해요. 거울 대칭이 쌓여요. 표준 만델브로 집합은 실수축 하나만 거울축으로 가지지만, Zubieta는 두 축 모두에 대해 반사해서 만화경처럼 네 개의 거울 사분면을 펼쳐요.

버닝 쉽과 Buffalo도 반복의 다른 시점에 비슷한 성분별 접기를 사용해요. Zubieta는 제곱과 c 더하기를 모두 마친 뒤에 접어요. 그 타이밍 덕분에 고유한 콤팩트한 돌출부, 타일처럼 깔린 쐐기, 거울 대칭 실을 갖게 돼요.

수학

Component-folded iteration

z_{n+1}=\left|z_n^2+c\right|

Here the bars mean component-wise absolute value, not complex magnitude. For u = x + iy, |u| means |x| + i|y|: take the absolute value of each part. Picture folding the point into the first quadrant.

Try c = −0.5 + 0i. In the standard Mandelbrot iteration, z₀ = 0 produces z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, z₃ ≈ −0.4375, and so on, converging to a fixed point. Zubieta folds those same values: after one step, |−0.5| = 0.5, so z₁ is 0.5 rather than −0.5. One small fold redirects the orbit—and changes how c is classified.

The escape threshold comes from the quadratic Mandelbrot test: once |zₙ| exceeds 2, divergence is guaranteed. The component-wise fold can keep some orbits bounded longer than the unfolded rule would.

역사

Zubieta belongs to a broader family of "abs" fractal variants — maps that apply absolute-value folds at different stages of the quadratic iteration. The best-known member of this family is the Burning Ship fractal, discovered by Michael Michelitsch and Otto E. Rössler in 1992, which folds the components before squaring. The Buffalo fractal, another relative, applies the fold after squaring but before adding c.

The Zubieta variant applies the component-wise absolute value after both squaring and the addition of c. Its precise origin is difficult to pin to a single published academic source. Variants of this kind circulated among fractal-rendering communities and software packages (Ultra Fractal, Fractint, XaoS) in the 1990s and 2000s, often named after whoever first implemented or popularized them in a given program.

FractalPark's implementation follows the standard component-wise fold and renders the parameter plane in Mandelbrot mode.

시각적 특징

Repeated component-wise folding imposes double-mirror symmetry. The image reflects across both real and imaginary axes, making mirrored wedges, compact mandala-like lobes, and tiled filaments.

Compared with Buffalo, which folds before squaring, Zubieta's post-update fold packs its lobes more tightly. In FractalPark's canonical rendering ("Kaleido Amber Mandala"), amber colour fills boundaries patterned with repeated angular motifs.

리믹스와 예제

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Amber Mandala

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자주 묻는 질문

Is the absolute value a complex magnitude?

No. FractalPark takes absolute value separately on the real and imaginary parts. It takes |x| and |y| independently, reflecting each coordinate into the nonnegative range without collapsing the complex number to one real value.

Why is the image strongly mirrored?

Folding both output components into the first quadrant on every iteration imposes double reflection symmetry. The orbit is repeatedly sent back toward the nonnegative region, and the parameter map mirrors across both axes. Burning Ship gains its flame-like symmetry by a related fold, though Zubieta packs the result into tighter mandala-like patterns.

개요

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