Cosh Mandelbrot

O Cosh Mandelbrot deixa para trás o passo polinomial familiar. Em vez de repetir z² + c, ele repete z → cosh(z) + c. A quadratura é substituída pelo crescimento exponencial do cosseno hiperbólico ao longo do eixo real e pela repetição de 2π ao longo do eixo imaginário.

O cosseno complexo e o cosseno hiperbólico são parentes próximos: cada um se repete em uma direção e cresce sem limite em outra. Para cosh(z), o período no eixo imaginário é 2π, então uma faixa de detalhes retorna acima e abaixo de si mesma. Quando |Re(z)| é grande, seus termos exponenciais disparam para fora. A maioria dos pontos iniciais escapa rapidamente; apenas faixas finas seguram uma órbita — mantendo seus valores sucessivos limitados por muitos passos.

O plano de parâmetros não se assemelha mais à cardioide e aos bulbos do conjunto de Mandelbrot. Ele empilha leques, plumas douradas e ecos verticais. Sua linha entre escapar e não escapar é traçada pela própria iteração transcendental; não há um raio de escape algébrico simples disponível.

Em 1988, Clifford A. Pickover, cientista da computação e autor no Thomas J. Watson Research Center da IBM, publicou o artigo curto “Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ)” em The Visual Computer. Ele apresentou imagens de comportamento caótico produzido por essa função transcendental, ao lado de mapas como z → sin(z) + c e z → eᶻ + c.

O trabalho de Pickover levou o mapa baseado em cosh à comunidade de renderização de fractais, onde se tornou um exemplo padrão de tempo de escape transcendental. Antes disso, matemáticos como Robert Devaney e Michał Krych haviam desenvolvido o estudo mais amplo da dinâmica complexa transcendental — famílias exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas — e analisado a dinâmica de exp(z) nos anos 1980.

Observe primeiro a repetição vertical. Como cosh(z) se repete na direção imaginária a cada 2π, plumas finas, leques em camadas e filamentos dourados retornam em intervalos regulares. O resultado é listrado e escalonado, muito diferente da ramificação radial dos conjuntos de Mandelbrot polinomiais.

Na renderização canônica, plumas e leques costumam ter tons quentes. O detalhe mais fino se concentra em faixas horizontais estreitas, onde uma órbita demora perto da fronteira entre escape e não escape. Acima e abaixo, o escape acelera e a imagem fica mais suave.