Iteração de Newton para cosh
A regra de Newton é N(z) = z − f(z) / f′(z). Aqui f(z) = cosh z − 1 e f′(z) = sinh z. Cada passo subtrai a correção (cosh z − 1) / sinh z, que é tanh(z/2) longe dos zeros de sinh z.
A equação cosh z = 1 tem infinitas soluções: z = 2πik para cada inteiro k. Todas são raízes duplas; perto delas, o erro de Newton é aproximadamente reduzido à metade a cada passo: a convergência é linear, não quadrática. O denominador zera em todo πik. Nos múltiplos pares o quociente é removível, pois são raízes; os polos genuínos são os múltiplos ímpares (2k+1)πi.
Experimente z₀ = 0.2i. A correção é tanh(0.1i) = i tan(0.1) ≈ 0.1003i, então z₁ ≈ 0.0997i: o erro fica visivelmente pela metade. Perto de um múltiplo ímpar como πi, a correção pode ficar muito grande. Na implementação, a componente real é limitada para estabilidade numérica, e o passo não muda quando |sinh(z)|² < 1e-10; são proteções, não afirmações sobre o mapa sem proteção.
A função se repete com período 2πi na direção imaginária, e o mapa de Newton também: N(z + 2πi) = N(z) + 2πi. Essa regra repetida cria as faixas horizontais.
