NewtonDifícil

Newton Cosh

O método de Newton aplicado a cosh z = 1: infinitas raízes igualmente espaçadas transformam o plano em faixas de convergência que se repetem.

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A visão de Newton do FractalPark para cosh z = 1: faixas de convergência que se repetem ao longo do eixo imaginário, separadas por bordas dobradas e filiformes.

Visão geral

O passo usual de busca de raízes de Newton muda de caráter quando f(z) = cosh z − 1. Suas raízes são 2πik para cada inteiro k. Um polinômio dá a uma órbita apenas um número finito de destinos possíveis; essas raízes continuam marchando pelo eixo imaginário em intervalos iguais. O fractal, portanto, se organiza em faixas que sobem e descem, em vez de se assentar em algumas bacias.

O mapa N(z) = z − (cosh z − 1) / sinh z é meromorfo: ele funciona em todo o plano complexo, exceto em suas singularidades. Fique de olho em dois conjuntos de pontos que se repetem: as raízes de cosh z − 1 e os zeros de seu denominador sinh z em z = πik, para k inteiro. Perto de um zero do denominador, um pequeno ajuste no ponto inicial pode trocar a raiz que a órbita alcança.

Você percebe a periodicidade ao longo do eixo imaginário num relance — sem precisar de formação em matemática. As faixas horizontais se repetem umas sobre as outras, uma para cada período das raízes. Nas junções, finos fios verticais registram onde uma bacia entrega uma órbita à seguinte.

A Matemática

Newton’s cosh iteration

z_{n+1}=z_n-\frac{\cosh z_n-1}{\sinh z_n}

Newton's rule is N(z) = z − f(z) / f′(z). Here f(z) = cosh z − 1 and f′(z) = sinh z. Each step finds the correction (cosh z − 1) / sinh z, then takes it away from z.

The equation cosh z = 1 has infinitely many solutions: z = 2πik for every integer k. Each is a simple root: cosh z grows linearly close by, so Newton's method converges quadratically there. Far from the real axis, cosh and sinh grow exponentially. Their quotient may be tiny or enormous, and that is where the image's sensitive seams take shape.

Try z₀ = 0.2i. Since i·sinh(0.2) ≈ 0.201i and cosh(0.2) ≈ 1.020, the first correction is small; the orbit quickly reaches the root at z = 0. Now move to z₀ = (0.5 + 3.0i), farther from every root. The correction now contains large exponential terms. The orbit can cross several basin boundaries before settling, or wander chaotically between roots for many iterations before one captures it.

The function repeats with period 2πi in the imaginary direction, and the Newton map does too: N(z + 2πi) = N(z) + 2πi. That repeated rule is the source of the horizontal banding.

Características Visuais

Start with the horizontal bands along the imaginary axis. A period of roots makes one band, and the convergence pattern returns in the next. The borders do not run straight: they bend and fold, then pull out fine vertical filaments like taut threads.

Within each band, the basin geometry resembles its neighbours, with small distortions. Think of a ribbon folded repeatedly. The warm and cool zones come from the colouring; the sharp breaks arise where singularities of sinh z destabilise the Newton correction.

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Perguntas Frequentes

What equation is being solved?

It seeks the complex solutions of cosh(z) = 1: z = 2πik for every integer k. The equally spaced roots line the imaginary axis. Each draws in nearby Newton orbits, and their repeating arrangement creates the horizontal bands.

Why are some regions extremely sensitive?

The correction divides by sinh(z), which vanishes at z = πik for integer k. Close to one of these points, the correction can become huge, sending an orbit across several basin boundaries before it converges. These singularities are not roots; they pull the fine vertical filaments and unsettled border zones into view.