Итерация Ньютона для cosh
z(n+1) = z(n) - (cosh(z(n)) - 1) / sinh(z(n))
Правило Ньютона: N(z) = z − f(z) / f′(z), где f(z) = cosh z − 1 и f′(z) = sinh z. Вычитается поправка (cosh z − 1) / sinh z, равная tanh(z/2) вне нулей sinh z.
Решения cosh z = 1 имеют вид z = 2πik и все они кратные. Вблизи них ошибка примерно уменьшается вдвое на каждом шаге: сходимость линейная, а не квадратичная. При всех πik знаменатель нулевой, но настоящие полюса находятся только в (2k+1)πi.
Для z₀ = 0.2i поправка равна tanh(0.1i) = i tan(0.1) ≈ 0.1003i, поэтому z₁ ≈ 0.0997i. Возле πi она может быть очень большой. Реализация ограничивает действительную компоненту и оставляет шаг без изменений при |sinh(z)|² < 1e-10; это численные защиты, а не утверждения о математике отображения без этих защит.
Период равен 2πi: N(z + 2πi) = N(z) + 2πi.
