Cosh Mandelbrot

Cosh Mandelbrot оставляет знакомый полиномиальный шаг позади. Вместо повторения z² + c он повторяет z → cosh(z) + c. Возведение в квадрат заменяется экспоненциальным ростом гиперболического косинуса вдоль вещественной оси и его 2π-периодичностью вдоль мнимой оси.

Комплексный косинус и гиперболический косинус — близкие родственники: каждый повторяется вдоль одного направления и неограниченно растёт вдоль другого. Для cosh(z) период по мнимой оси равен 2π, поэтому полоса деталей возвращается над и под собой. Когда |Re(z)| велико, его экспоненциальные слагаемые устремляются наружу. Большинство стартовых точек уходят быстро; лишь тонкие полосы удерживают орбиту — сохраняя её последовательные значения ограниченными на протяжении многих шагов.

Плоскость параметра больше не напоминает кардиоиду и «почки» множества Мандельброта. Вместо этого она складывает веера, золочёные перья и вертикальные эхо. Линия между уходом и неуходом проведена самой трансцендентной итерацией; простого алгебраического радиуса ухода здесь нет.

В 1988 году Клиффорд А. Пиковер, специалист по информатике и автор из Исследовательского центра IBM имени Томаса Дж. Уотсона, опубликовал в The Visual Computer краткую статью «Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ)». Он представил изображения хаотического поведения, создаваемого этой трансцендентной функцией, наряду с отображениями вида z → sin(z) + c и z → eᶻ + c.

Работа Пиковера ввела основанное на cosh отображение в сообщество фрактального рендеринга, где оно стало стандартным примером трансцендентного времени ухода. Ранее математики, включая Роберта Девани и Михала Крыха, развивали более широкое изучение трансцендентной комплексной динамики — экспоненциальных, тригонометрических и гиперболических семейств — и в 1980-х годах анализировали динамику exp(z).

Прежде всего заметна вертикальная повторяемость. Поскольку cosh(z) повторяется в мнимом направлении через каждые 2π, тонкие перья, слоистые веера и золочёные нити возвращаются через равные интервалы. Результат получается полосатым и ярусным, совсем не похожим на радиальное ветвление полиномиальных множеств Мандельброта.

В каноническом рендеринге перья и веера часто окрашены в тёплые тона. Самые тонкие детали сосредоточены в узких горизонтальных полосах, где орбита задерживается около границы между уходом и неуходом. Выше и ниже уход ускоряется, и изображение становится более гладким.