ЭкзотическиеСредне

Circle Inversion

Обратное квадратичное отображение, которое на каждом шаге меняет близкое и далёкое местами: малые значения улетают наружу, большие возвращаются к началу координат.

Открыть в Обзоре

Плоскость параметра Circle Inversion: вложенные кольца, осевые шипы и полюс в начале координат.

Обзор

Circle Inversion меняет привычный квадратичный рост на обратный квадратичный шаг: возьмите 1/z², затем сдвиньте его на c. Выглядит как маленькая замена. Поведение — совсем нет.

В обычной полиномиальной итерации, как только орбита вырастает за некоторый размер, она продолжает удаляться от начала координат. Здесь логика выворачивается наизнанку: вблизи нуля значение становится огромным, а огромное возвращается к нулю. Затем c решает, куда ляжет обменянное значение.

Картина радиальна: вложенные кольца и резкие осевые следы. Начало координат — полюс порядка 2, точка, где отображение не определено, — и его притяжение протягивается через всю плоскость параметра.

Математика

Reciprocal quadratic iteration

z_{n+1}=\frac{1}{z_n^2}+c

At each step, the map takes the reciprocal of z²—geometric inversion through the unit circle with a doubled angle—then shifts the result by the complex parameter c. That inversion gives the formula its name; it is classical circle inversion applied to z² rather than to z.

Try c = 0 and start at z₀ = 2. Then z₁ = 1/4 = 0.25, z₂ = 1/(0.0625) = 16, z₃ = 1/256 ≈ 0.0039. The orbit ricochets between large and small values rather than settling at a fixed point. For c = 0.5, start at z₀ = 1: z₁ = 1/1 + 0.5 = 1.5, z₂ = 1/2.25 + 0.5 ≈ 0.944, z₃ = 1/0.892 + 0.5 ≈ 1.62. This orbit oscillates without diverging, suggesting c = 0.5 belongs to the bounded set. Escape needs a different test from the quadratic case: a huge value may collapse on the next step, so the bailout must allow for this alternation.

История

The map z → 1/z² + c sits near the broader rational family known as McMullen maps, z → zⁿ + λ/zⁿ. Curt McMullen introduced that family in the late 1980s, showing rational maps whose parameter spaces contain several kinds of hyperbolic components, including ones with Sierpiński-carpet Julia sets.

With n = 2, λ = 1, and a translation parameter c, this gives the Circle Inversion map. Its name comes from 1/z², which inverts the complex plane with respect to the unit circle and doubles the angle. Robert L. Devaney and others later studied the McMullen family, tracing how escape loci and Julia sets change with parameters. FractalPark renders exactly this map — the n = 2, λ = 1 case with c as the translation parameter.

Визуальные особенности

Concentric bands and radial spines run outward from the pole at the origin. The bands mark regions whose orbits stay bounded or escape at different rates, making nested rings like a target or the ripples from a dropped pebble.

Sharp axial structures form distinct spokes. They come from the inversion’s angular part: 1/z² doubles z’s angle, creating preferred directions where the dynamics line up. The reciprocal quadratic form gives this parameter plane a more rigid radial symmetry than most.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в Обзоре Открыть редактор формул

Citrine Spine

Посмотреть работу

Часто задаваемые вопросы

Why is the origin special?

The origin is a pole of order 2: 1/z² is undefined at z = 0 because division by zero creates a singularity. An orbit landing exactly there cannot continue; one passing nearby gets a very large next value. That is why the rendered image grows rings and spines around the origin.

How does FractalPark handle values near zero?

The renderer clips the denominator at a small epsilon value to prevent division by zero. The pole still leaves its rings and spines visible, while the calculation stays numerically stable. Its effect remains part of the rendered structure.