ЭкзотическиеСложно

McMullen 2–3 Map

Рациональное отображение, в котором возведение в квадрат уводит точки наружу, а обратно-кубический член отправляет их через полюс в начале координат.

Открыть в Обзоре

Изображение McMullen 2–3 от FractalPark: вложенные бусиноподобные границы, опоясывающие широкое центральное отверстие.

Обзор

Отображение McMullen 2–3 принадлежит семейству, обычно записываемому как $f_\lambda(z)=z^n+\lambda/z^d$. FractalPark называет параметр $c$ и выбирает $n=2$, $d=3$. Сначала оно похоже на квадратичное отображение с дополнительным членом. Затем $z^3$ появляется в знаменателе и меняет правила: начало координат — полюс, а не обычная точка.

Одна формула теперь владеет двумя территориями. Далеко наружу $z^2$ доминирует и отталкивает большие значения дальше. Вблизи нуля $c/z^3$ берёт верх и отправляет точки к бесконечности через полюс. Между ними лежит подвижная граница, где ни один член не побеждает окончательно.

Эта граница может сомкнуться в кольца, распасться на округлые ячейки или соединиться в связную сеть. Это зависит от $c$ и от орбит критических точек. Единого очертания McMullen не существует.

Математика

A quadratic term and a cubic pole

z_{n+1}=z_n^2+\frac{c}{z_n^3}

At each step, square the current complex value, then add $c/z^3$. When $|z|$ is large, the first term grows roughly like $|z|^2$, while the reciprocal term fades like $1/|z|^3$. Near zero the balance flips: the reciprocal term becomes enormous.

The same expression can be written as

$$ f_c(z)=\frac{z^5+c}{z^3}. $$

The map has a pole of order three at $z=0$, and—when $c\neq0$—is a rational map of degree five. The “2–3” names the exponents in the original expression, not the rational-map degree.

In the exact definition, the pole sends zero to infinity on the Riemann sphere. A numerical renderer cannot divide by zero, so FractalPark replaces values extremely close to the origin with a tiny nonzero value and guards the denominator. That is a computational safety rail, not a different definition.

История

The family takes its name from Curtis T. McMullen. In Section 7 of his 1988 paper *Automorphisms of Rational Maps*, McMullen constructed rational maps whose Julia sets break into a Cantor set of Jordan curves—infinitely many disjoint loops arranged with Cantor-set structure. Later authors adopted “McMullen maps” for the family $z^n+\lambda/z^d$ associated with this construction. McMullen is now Cabot Professor of Mathematics at Harvard, where his personal academic homepage and publication list remain available.

The 2–3 choice is the smallest pair of exponents satisfying the characteristic inequality

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{d}<1, $$

because $1/2+1/3=5/6$. It also gives the lowest possible degree, $n+d=5$, in this part of the theory. The inequality alone does not guarantee that every parameter produces circles: the relevant critical orbits must also enter the appropriate escape region.

Work after McMullen mapped out that dependence in much greater detail. Robert Devaney, Daniel Look, and David Uminsky proved an “escape trichotomy” in 2005: when the free critical orbit escapes, the Julia set can be a Cantor set, a Cantor set of circles, or a Sierpiński curve, depending on how it reaches infinity.

Визуальные особенности

One large pale opening anchors the image. An uneven ring of rounded cells circles it; farther out, smaller cells make a fine lace. What looks like a smooth blue band at first resolves into a crowded rim.

The outer edge is gently faceted rather than round, and no two cells quite match. That belongs to this parameter, frame, and colouring—not every McMullen map. The pale palette favours relief and nested boundaries over an escape-speed gradient.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в Обзоре Открыть редактор формул

Azure Whorl

Посмотреть работу

Часто задаваемые вопросы

What do 2 and 3 mean in the name?

They name the two powers in $z^2+c/z^3$: the polynomial side squares $z$, while the reciprocal side divides by its cube. In the general McMullen family they are $n$ and $d$.

Do not read them as “degree two to degree three.” Combine the terms and the map is $(z^5+c)/z^3$, so for nonzero $c$ its rational-map degree is five.

What happens at z = 0?

The denominator $z^3$ vanishes, so zero is a pole, not an ordinary starting point. On the extended complex plane it maps to infinity. Nearby points are flung away with strength growing like $1/|z|^3$.

That pole is not a rendering accident; it is the feature that distinguishes this family from a polynomial such as $z^2+c$. FractalPark only adds a tiny numerical guard near zero so the shader can represent the same limiting behavior without performing an undefined division.