ЭкзотическиеСредне

Inverted Lambda

Гибридное отображение, добавляющее рациональный квадратичный член к комплексной логистической рекуррентности и вносящее подвижные полюсы в орбиту.

Открыть в Обзоре

Плоскость параметра Inverted Lambda: логистические доли, прерываемые рациональной поправкой, со швами и внезапными сменами масштаба.

Обзор

Inverted Lambda начинается с логистической рекуррентности λ-фрактала и добавляет рациональную поправку. Первый член, c·z(1−z), — стандартное комплексное логистическое отображение. Второй, 0.18/(z² + c), обратен и квадратичен; когда его знаменатель приближается к нулю, он может забросить орбиту к очень большим значениям.

Эта дробь меняет правила. Обычное логистическое отображение — многочлен, гладкий всюду; Inverted Lambda — рациональное отображение с подвижными полюсами. Орбита может уйти к бесконечности через неограниченный рост или забредая слишком близко к делителю. Округлые доли родителя остаются, но их прорезают зазубренные швы, узлоподобные сплетения и внезапные смены масштаба.

Значение 0,18 фиксировано, это не ещё один параметр. Оно удерживает и полиномиальный, и рациональный вклады активными в пределах умеренного числа итераций.

Математика

Lambda-reciprocal iteration

z_{n+1}=c z_n(1-z_n)+\frac{0.18}{z_n^2+c}

Every step combines two contributions. First comes c·z(1−z), the quadratic logistic step behind the Lambda parameter set. Then comes a rational correction with fixed numerator 0.18 and denominator z² + c. A large denominator makes that correction small, so the map nearly follows the pure logistic version. Near z² + c = 0, it surges and may send the orbit far away.

Take c = 1 + i and start at z₀ = 0. The first term gives 1 × 0 × 1 = 0. The second term: 0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i. So z₁ ≈ 0.09 − 0.09i: a small nudge away from the logistic baseline. On later steps the rational term keeps steering, creating paths unavailable to the pure logistic family. The denominator z² + c marks the poles—near-singular values—and their positions move with c.

История

Inverted Lambda is a hybrid construction joining two well-studied complex-dynamics families. Its logistic base comes from the lambda fractal tradition studied by Mandelbrot (1980). Adding a reciprocal quadratic term to a polynomial map relates to singular perturbation, which Curt McMullen explored in the late 1980s for rational maps zⁿ + λ/zⁿ.

This particular pairing—a logistic map and a reciprocal quadratic with a fixed constant numerator—appears to be a novel fractal-rendering formulation. It does not trace to one historical paper; it draws on ideas developed across decades of complex-dynamics research. “Inverted Lambda” describes the construction rather than a term from the research literature.

Визуальные особенности

The parameter plane keeps the logistic family’s rounded lobes, but sharp seams, dense knots, and patches where color suddenly deepens or brightens interrupt them. Near a pole, an orbit makes a large jump, and the escape-time coloring records that break.

It can resemble a smooth surface cracked from within. Far from the poles, the parent Lambda structure is still legible; the rational correction draws angular, crystalline detail across it.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в Обзоре Открыть редактор формул

Midnight Faultline

Посмотреть работу

Часто задаваемые вопросы

What is inverted in this formula?

“Inverted” names the reciprocal term added to the logistic recurrence. It is not a geometric flip of the image or a reflection of the parameter plane. The reciprocal quadratic term 1/(z² + c) is the inversion meant here.

Where can poles occur?

A pole occurs wherever the denominator z² + c is zero — that is, when z = ±√(−c). Since c is free, pole locations depend on the parameter being explored. An evolving orbit may pass close to one, making the rational term spike and the trajectory jump far away.