FractalPark
КлассическиеЛегко

Lambda Fractal

Центрированное комплексное логистическое отображение: один параметр одновременно растягивает орбиту и заворачивает её на себя.

Открыть в Обзоре
Чёрное множество Λ на сине-зелёном пространстве, край которого окутан ветвящимися нитями
Плоскость параметра центрированного комплексного логистического отображения: дискообразное ядро, присоединённые «почки» и нитевидный край.

Обзор

На вещественной прямой логистическое отображение стало небольшой лабораторией хаоса. Пусть его значения блуждают по комплексной плоскости — и оно раскрывается в λ-фрактал (Lambda). FractalPark использует центрированную форму: c масштабирует два взаимодополняющих множителя, тянущих в противоположные стороны.

Аффинная замена координат делает эту формулу сопряжённой стандартному квадратичному отображению z² + c. Она разделяет черты семейства множества Мандельброта, но не его очертания: здесь диск стоит там, где у множества Мандельброта кардиоида, а присоединённые «почки» располагаются по собственным периодам.

Здесь c вращает две рукоятки сразу — рост и поворот. Зафиксируйте его для вида Жюлиа, затем слегка сдвиньте: почти круглая область притяжения может превратиться в границу из ветвей и спиралей.

Математика

Complex logistic iteration

z(n+1) = c times (z(n) + 1/2) times (1/2 - z(n))

At each step, shift the current value halfway either side of center, multiply (z + ½) by (½ − z), then scale the product with c. The two factors make ¼ − z², so the same step reads z → c(¼ − z²).

Try c = 2 with z₀ = 0. The first step is z₁ = 2 × (½) × (½) = 0.5; the next is z₂ = 2 × 1.0 × 0 = 0. The orbit now shuttles between 0 and 0.5: a stable 2-cycle. Turn c up to 4 and the pull changes: z₁ = 4 × ½ × ½ = 1, then z₂ = 4 × 1.5 × (−0.5) = −3. The orbit diverges, so c = 4 lies outside the bounded set. In Julia mode, hold c still and vary z₀ across the image; the dividing line between trapped and escaping appears.

История

The map z → λz(1 − z) began as the complex extension of the real logistic map, studied extensively in the 1970s as a simple model of population dynamics and chaotic behavior. In 1980, Benoit B. Mandelbrot took the iteration to unrestricted complex λ and z. His paper, "Fractal Aspects of the Iteration of z → λz(1−z) for Complex λ and z," introduced the λ-plane parameter set—now the Lambda fractal—and placed it in the broader theory of iterated rational maps.

The groundwork was already there. Around 1917–1918, Pierre Fatou and Gaston Julia developed the general theory of iterated rational functions that later made families such as the logistic map available to explore. In 1986, Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter brought the Lambda fractal to a wider audience in "The Beauty of Fractals," with some of the first widely seen computer-generated images of the set.

Визуальные особенности

At full scale, the Lambda set begins with an almost circular body—the countershape to the Mandelbrot set’s heart-like cardioid. Smaller bulbs cling to the disk; each marks a stable periodic cycle, and the largest marks a period-2 cycle. Beyond them lie branching channels, tiny disk islands, and spirals.

The islands give away the difference: they are round here, not cardioid-shaped, because the algebra has changed. In Julia mode, c can select a filled disk or a many-armed vortex.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в ОбзореОткрыть редактор формул

Часто задаваемые вопросы

What does lambda control?

The complex parameter c—often written λ in the literature—sets both the orbit’s growth rate and its rotation. Its magnitude controls the strength of expansion or contraction; its argument supplies the turn at each step.

Why does Julia mode look especially varied?

Fix c and the question shifts to the starting point: does it stay bounded or escape? With linear and quadratic terms in the same formula, the border may be a smooth closed curve or a heavily branched connected set. The chosen c decides what the renderer reveals.

Ссылки