FractalPark
КлассическиеСредне

Perpendicular Celtic

Квадратичное отображение семейства Perpendicular: сложите вещественную часть перед возведением в квадрат, сложите вещественный результат ещё раз — и граница завяжется в косы.

Открыть в Обзоре
Фрактал Perpendicular Celtic с плетёными полосами, зеркальными арками и фарфоровыми петлями
Perpendicular Celtic: сцепленные полосы и зеркальные арки, резко сложенные у края и образующие петли внутри.

Обзор

Perpendicular Celtic принадлежит семейству Perpendicular — вариантам Burning Ship — наряду с Perpendicular Burning Ship и Perpendicular Buffalo. Его приём — двойное складывание: вещественная составляющая складывается перед возведением в квадрат, затем вещественная составляющая результата складывается ещё раз. Мнимая составляющая пропускает второе складывание.

Каждая итерация дважды перенаправляет границу. Начинают появляться переплетённые, сцепленные формы — достаточно близкие к кельтскому плетению, чтобы объяснить название. Зеркальные арки, фарфоровые петли и полосы времени ухода на бесконечность делают повороты под прямым углом на резких складках.

В некоторых областях фигура симметрична относительно и вещественной, и мнимой осей — в отличие от некоторых вариантов Burning Ship. Причина — перпендикулярное устройство: складки действуют ортогонально, по одной оси за раз, а не по обеим сразу.

Математика

Perpendicular Celtic iteration

Fold the real input, square it, fold the resulting real part, then add c

First fold the real input: construct z' = |xₙ| + iyₙ. Square it: (z')² = (|xₙ|² − yₙ²) + i(2·|xₙ|·yₙ). Then fold the real part of that result: zₙ₊₁ = ||xₙ|² − yₙ²| + i(2·|xₙ|·yₙ) + c.

The double fold reflects the real component twice per iteration: before the square, negative x mirrors to positive; after it, a negative resulting real part mirrors to nonnegative. The imaginary component folds only indirectly, through |xₙ| in the cross term.

Consider c = −0.5. For the Mandelbrot set: z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, bounded. For the Perpendicular Celtic: z₁ = ||0|² − 0²| + i(2·|0|·0) − 0.5 = 0 − 0.5 = −0.5, then z₂ = ||−0.5|² − 0²| + i(2·|−0.5|·0) − 0.5 = |0.25| − 0.5 = −0.25, same orbit. But try c = 0.3i: the double fold redirects the orbit in a way that neither the Mandelbrot set nor the Burning Ship reproduces.

История

Perpendicular Celtic belongs to the “Perpendicular” Burning Ship family, with Perpendicular Burning Ship, Perpendicular Buffalo, and related forms. Like the others, it came from the fractal art community rather than academic research.

“Celtic” names the visual resemblance to Celtic knotwork made by the double fold. “Perpendicular” names the folds’ orthogonal placement: first on the real coordinate before squaring, then on the real part of the result.

It appears in formula browsers supporting custom iterations, including Ultra Fractal, Fractal Extreme, and Mandelbrowser. The earliest documented instances are in online fractal forums and fractal wiki pages cataloging Burning Ship variants.

Визуальные особенности

Braided bands, mirrored arches, and porcelain-like loops gather at folds where escape-time color turns at right angles. From far out, the structure is symmetric across both axes; deeper in, fine asymmetries appear.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в ОбзореОткрыть редактор формул

Часто задаваемые вопросы

Why are absolute values used twice?

The folds act at different moments: the first absolute value folds the real input before squaring; the second folds the squared result’s real part. The real component is therefore reflected twice per iteration, changing how the orbit responds to the parameter c. Compared with the single-fold Burning Ship, the boundary becomes finer and more braided.

Is it simply a rotated Burning Ship?

No. It is related to the Burning Ship through absolute-value folds, but it places them differently in the quadratic step. The Burning Ship folds both raw coordinates before squaring. Perpendicular Celtic folds the real coordinate before squaring and then folds the result’s real part again. That two-stage order gives the orbit a different geometry and a distinct symmetry.

Ссылки