Горящий корабльЛегко

Burning Ship

Квадратичный фрактал времени ухода на бесконечность: сложите обе координаты по абсолютной величине перед возведением в квадрат — и цветовые полосы образуют асимметричный кораблеподобный контур.

Открыть в Обзоре

Burning Ship: клиновидный корпус, пламеподобные гребни над вещественной осью и слоистые полосы времени ухода на бесконечность.

Обзор

Burning Ship стоит вплотную к множеству Мандельброта, но один приём меняет всё. Перед каждым возведением в квадрат он заменяет и вещественную, и мнимую части z их абсолютными величинами. Орбита складывается к осям, и квадратичное отображение теряет вращательную симметрию. Отображение перестаёт быть аналитическим — оно не удовлетворяет уравнениям Коши–Римана, — и по его краю появляются жёсткие углы.

Используйте обычное соглашение об отображении: вещественная ось горизонтальна, мнимая — инвертирована, — и складка напоминает горящий корабль. Клиновидный корпус лежит под пламеподобными гребнями. Вдоль вещественной оси слева меньшие корабли повторяют тот же зазубренный профиль.

Обычный тест радиуса ухода по-прежнему работает: как только |z| превышает 2, расходимость гарантирована. Однако эта неаналитическая орбита больше не ведёт себя как комплексно-аналитическая функция. Её полосы времени ухода складываются в слои с резкими гранями и вложенные прямоугольные границы вместо гладких радиальных градиентов множества Мандельброта.

Математика

Fold, then square

z_{n+1}=(|\operatorname{Re}z_n|+i|\operatorname{Im}z_n|)^2+c

Both real and imaginary components are reflected to nonnegative values, combined into a complex number, then squared. In expanded form, the real part is xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + Re(c) and the imaginary part is yₙ₊₁ = 2|xₙ||yₙ| + Im(c). At every iteration, the absolute values fold the orbit back toward the axes: if xₙ or yₙ is negative, it is mirrored to positive before the squaring step. That fold produces the sharp, rectangular boundaries that set the Burning Ship apart from the Mandelbrot set’s smooth contours.

Try c = −1. For the Mandelbrot set, the orbit z₀=0, z₁=−1, z₂=0, z₃=−1, … stays bounded (period 2). For the Burning Ship, z₁ = (|0| + i|0|)² − 1 = −1, then z₂ = (|−1| + i|0|)² − 1 = 0, and the orbit settles into the same 2-cycle. Now take a point such as c = i: the fold redirects its orbit where the Mandelbrot iteration would not, producing a different escape decision.

История

In 1992, Michael Michelitsch and Otto E. Rössler first described and rendered the Burning Ship in a Computers & Graphics paper. Both were then researchers at the University of Tübingen (Eberhard Karls Universität Tübingen). Their paper gave the iteration and showed that the absolute-value fold produces what they called a “quasi-Julia set”: it resembles a classical Julia set, but arises from a non-analytic map.

The name “Burning Ship” comes from a close view near the real axis: a dark hull below, flame-like ridges above. Paul Bourke independently implemented the fractal in October 1993, crediting Michelitsch and Rössler; his page became an early online reference.

Because it is a non-analytic alteration of the Mandelbrot recurrence, the formula falls outside the classical complex-dynamics theory Fatou and Julia developed for analytic functions. It has since become one of the most widely explored non-analytic escape-time fractals. Buffalo, Airship, Celtic, and Perpendicular variants rearrange which coordinates are folded and when.

Визуальные особенности

Dark hulls, flame-like masts, and chimney shapes rise through folded layers. Set beside the Mandelbrot set, the asymmetry is immediate.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в Обзоре Открыть редактор формул

Cinder Rift

Посмотреть работу

Часто задаваемые вопросы

What changed from the Mandelbrot set?

Taking absolute values component by component breaks the Mandelbrot set’s rotational symmetry and makes the map non-analytic. Rounded boundaries become angled edges and nested rectangles; escape-time color settles into bands rather than smooth radial gradients.

Why is the ship sometimes upside down?

The canonical formula puts the ship upside down because absolute values turn negative imaginary coordinates positive before squaring. Most renderers, including FractalPark, reflect the image vertically for display. A screen whose Y-axis points down can add a second flip, so the final orientation depends on where the renderer applies that reflection.