FractalPark
ЭкзотическиеЛегко

Zubieta

Квадратичное отображение, которое на каждом шаге складывает обе части z² + c в неотрицательный квадрант, порождая двойную зеркальную симметрию и компактные мандалоподобные формы.

Открыть в Обзоре
Фрактал Zubieta: зеркальные клинья и мандалоподобные доли в тёплом янтарном цвете ("Kaleido Amber Mandala")
Фрактал Zubieta в рендеринге FractalPark ("Kaleido Amber Mandala"): двойная зеркальная симметрия складывает компактные доли и мозаичные нити в калейдоскопическую мандалу.

Обзор

Zubieta — родственник классической итерации Мандельброта, использующий абсолютные величины. Он выполняет обычное обновление zₙ² + c, а затем берёт абсолютную величину отдельно для вещественной и мнимой частей. Это не комплексный модуль, который сплющил бы обе части в одно вещественное число. Представьте складывание листа вдоль обеих осей: комплексная структура сохраняется, но каждая координата возвращается в неотрицательный квадрант.

Повторите это складывание — и орбита продолжает возвращаться в первый квадрант или проходить сквозь него. Зеркальная симметрия накапливается. Стандартное множество Мандельброта имеет одну ось зеркала — вещественную; Zubieta отражается относительно обеих осей, раскладывая четыре зеркальных квадранта, как калейдоскоп.

Burning Ship и Buffalo используют похожие покомпонентные складывания в другие моменты итерации. Zubieta складывает после и возведения в квадрат, и прибавления c. Этот момент придаёт ему собственные компактные доли, мозаичные клинья и зеркальные нити.

Математика

Component-folded iteration

z(n+1) is the component-wise absolute value of z(n)^2 + c

Here the bars mean component-wise absolute value, not complex magnitude. For u = x + iy, |u| means |x| + i|y|: take the absolute value of each part. Picture folding the point into the first quadrant.

Try c = −0.5 + 0i. In the standard Mandelbrot iteration, z₀ = 0 produces z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, z₃ ≈ −0.4375, and so on, converging to a fixed point. Zubieta folds those same values: after one step, |−0.5| = 0.5, so z₁ is 0.5 rather than −0.5. One small fold redirects the orbit—and changes how c is classified.

The escape threshold comes from the quadratic Mandelbrot test: once |zₙ| exceeds 2, divergence is guaranteed. The component-wise fold can keep some orbits bounded longer than the unfolded rule would.

История

Zubieta belongs to a broader family of "abs" fractal variants — maps that apply absolute-value folds at different stages of the quadratic iteration. The best-known member of this family is the Burning Ship fractal, discovered by Michael Michelitsch and Otto E. Rössler in 1992, which folds the components before squaring. The Buffalo fractal, another relative, applies the fold after squaring but before adding c.

The Zubieta variant applies the component-wise absolute value after both squaring and the addition of c. Its precise origin is difficult to pin to a single published academic source. Variants of this kind circulated among fractal-rendering communities and software packages (Ultra Fractal, Fractint, XaoS) in the 1990s and 2000s, often named after whoever first implemented or popularized them in a given program.

FractalPark's implementation follows the standard component-wise fold and renders the parameter plane in Mandelbrot mode.

Визуальные особенности

Repeated component-wise folding imposes double-mirror symmetry. The image reflects across both real and imaginary axes, making mirrored wedges, compact mandala-like lobes, and tiled filaments.

Compared with Buffalo, which folds before squaring, Zubieta's post-update fold packs its lobes more tightly. In FractalPark's canonical rendering ("Kaleido Amber Mandala"), amber colour fills boundaries patterned with repeated angular motifs.

Ремиксы и примеры

Начните с канонического документа

Откройте то же утверждённое состояние формулы, которое используется в этом руководстве, а затем измените вид, раскраску, трансформации или анимацию в интерактивном Обзоре.

Создать ремикс в ОбзореОткрыть редактор формул

Часто задаваемые вопросы

Is the absolute value a complex magnitude?

No. FractalPark takes absolute value separately on the real and imaginary parts. It takes |x| and |y| independently, reflecting each coordinate into the nonnegative range without collapsing the complex number to one real value.

Why is the image strongly mirrored?

Folding both output components into the first quadrant on every iteration imposes double reflection symmetry. The orbit is repeatedly sent back toward the nonnegative region, and the parameter map mirrors across both axes. Burning Ship gains its flame-like symmetry by a related fold, though Zubieta packs the result into tighter mandala-like patterns.

Ссылки