双曲余弦曼德布罗特不再重复那个熟悉的多项式迭代。它不重复 z² + c，而是在每一步计算 z → cosh(z) + c。平方被替换为双曲余弦：沿实轴的指数增长，沿虚轴的 2π 周期重复。
复余弦和复双曲余弦是近亲：都沿一个方向重复，朝另一个方向无界增长。cosh(z) 沿虚轴的周期是 2π，于是同一条细节带会在上下重现。|Re(z)| 较大时，cosh 里的指数项猛增；大多数起点很快逃逸，只有几条窄带能让轨道——也就是连续迭代得到的值——多停留许多步。
参数平面换了一副面孔：层叠扇面、金色羽片和纵向回声，取代了多项式 Mandelbrot 集的心形与圆瓣。逃逸与非逃逸的分界由超越迭代自己画出，并没有简单的代数逃逸半径。
每一步先对当前 z 求复双曲余弦，再加常数 c。cosh(z) = (eᶻ + e⁻ᶻ)/2：沿实轴指数增长，沿虚轴重复，周期为 2π。
试着取虚轴上的 z = iπ/2。cosh(iπ/2) = cos(π/2) = 0，所以从这里出发、令 c = 0，一步后得到 z₁ = 0。但零并不是这个映射的固定点：再下一步是 z₂ = cosh(0) = 1。只要稍稍离开虚轴，eᶻ 项就可能带来指数增长，点很快逃逸。有界初始条件窄得像一道缝，其余地方却迅速逃逸。它不像多项式那样有统一的逃逸半径，FractalPark 采用实际调优的逃逸阈值来检测发散。
1988 年，IBM 托马斯·J·沃森研究中心的计算机科学家 Clifford A. Pickover 在 The Visual Computer 发表短文 "Chaotic behavior of the transcendental mapping (Z → cosh(Z) + μ)"。文中展示了这个超越函数驱动的混沌系统所呈现的图形行为，并把它与 z → sin(z) + c 和 z → eᶻ + c 等超越映射放在一起讨论。
Pickover 的工作把基于 cosh 的映射带进分形渲染社区，它后来成了超越逃逸时间分形的标准例子。更早之前，Robert Devaney、Michał Krych 等数学家已为更广泛的超越复动力学——指数族、三角函数族和双曲函数族——打下基础，并在 1980 年代分析了 exp(z) 的动力学性质。
先看纵向重复。cosh(z) 在虚方向以 2π 为周期，精细羽片、层叠扇面和金色丝线便隔着固定距离回来一次。图像因此带着条纹般的层次，不像多项式 Mandelbrot 集那样向外放射分枝。
标准渲染图里的羽片和扇面多用暖色。最密的细节挤在狭窄水平带中，那里轨道在逃逸与非逃逸的边界附近徘徊很久。往上或往下，逃逸骤然加快，图像也平静下来。
复双曲余弦沿虚轴以 2π 为周期。每一步都用 cosh(z)，所以轨道结构也带着这个节拍：有界和逃逸的同类行为会在参数平面上按固定纵向间隔重现。
双曲余弦由指数函数构成：cosh(z) = (eᶻ + e⁻ᶻ)/2。实部一旦较大，eᶻ 项很快占上风，轨道增长极快。这里没有多项式映射那样简单的逃逸半径，逃逸阈值是计算时作出的实际选择。
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