双曲余弦牛顿分形

牛顿法的规则是 N(z) = z − f(z) / f′(z)。这里取 f(z) = cosh z − 1、f′(z) = sinh z；每一步减去修正量 (cosh z − 1) / sinh z，它在 sinh z 不为零时等于 tanh(z/2)。

方程 cosh z = 1 有无穷多解：z = 2πik，k 为任意整数。它们都是二重根，因此根附近的误差每一步约减半：这是线性收敛，不是二次收敛。分母在每个 πik 处为零；偶数倍是根，商在化简后可去，真正的极点是奇数倍 (2k+1)πi。

试试 z₀ = 0.2i。修正量为 tanh(0.1i) = i tan(0.1) ≈ 0.1003i，所以 z₁ ≈ 0.0997i，误差明显约减半。靠近 πi 这样的奇数倍时，修正量会变得很大。实现中会钳制实部以保持数值稳定；当 |sinh(z)|² < 1e-10 时，步长保持不变。这些是数值保护，不是对未保护映射的数学断言。

函数在虚方向以 2πi 为周期，牛顿映射也继承相同的周期性：N(z + 2πi) = N(z) + 2πi。图中的水平带状结构因此反复出现。