多重凤凰记得上一步。这是二阶递推：新值同时取决于当前 z 和紧邻的前一个轨道值，后者由复记忆系数 p 加权。这点“记忆”会改变特征的走向，也会改变它延续多久。
标准 Julia 的 z → z² + c 没有记忆；Phoenix 把更早的 z 以 p·zₙ₋₁ 带回来。改变 p，就是调整过去在下一步中的分量；p 是复数，所以这个值既能旋转也能缩放。羽毛辐条、火焰扇面、罗盘花饰和余烬簇，便从这里长出来。
丝线像神话鸟的翅膀和尾羽，“凤凰”因而得名。京都大学的 Shigehiro Ushiki 发现了这一分形，并于 1988 年发表。
先取标准二次步 zₙ² + c，再加上两步之前的轨道值乘以 p。二阶递推在开场需要两个初值：起始 z₀ 和“前一步”值（通常设为 0）。FractalPark 把 p 作为可调的复参数。
试试经典 Phoenix 参数对 c = 0.5667、p = −0.5。从 z₀ = 0 和 z₋₁ = 0 起步，前几次迭代保持有界，画出角向的翼状弧线。把 p 改成幅度相近的正值，记忆项不再抵消而是顺着原方向推，羽毛状结构便会破碎或旋转。
凤凰分形由京都大学人类·环境学研究科的数学家 Shigehiro Ushiki 发现。1988 年，他在 IEEE Transactions on Circuits and Systems 上发表 Phoenix 迭代，将其描述为从复化 Hénon 映射导出的类 Julia 集的复一维截面。论文标题即为 "Phoenix"。经典参数对（c = 0.5667, p = −0.5）产生了后来在分形渲染社区中广为人知的凤凰曲线。
Ushiki 的研究涵盖复动力系统、多面体对称 Julia 集、高维复 Hénon 映射及曲面向自同构的动力学。他的京都大学主页列出从 1980 年代至今的论文。
凤凰族后来出现在 Ultra Fractal 等分形软件中，兼具 Julia 模式和 Mandelbrot 模式变体。FractalPark 的多重凤凰沿用相同的核心递推，并增加了多预览参数界面。
这一步记忆在画面上留下痕迹：从中心射出的羽毛辐条、沿丝线卷起的火焰扇面、像指针一样的罗盘结构。它们来自 p·zₙ₋₁ 带来的方向延续——标准 Julia 集没有这个机制，因此长不出同样的形状。
参数一换，同一条规则可以收成紧密的余烬簇，展开成辐射风车，也能碎成尘埃区。FractalPark 的标准渲染图“Ember Compass”突出罗盘状辐条和温暖发亮的丝线簇。
这是二阶递推：下一状态同时依赖当前值和紧邻的前一值。它是延迟微分方程的离散类比——过去会反馈到现在。额外的参数 p 决定有多少“过去”继续往前走。
重要。二阶递推需要两个初始条件——z₀ 和开始迭代前的“前一步”值（z₋₁）——才能得到确定的轨道。FractalPark 默认将 z₋₁ 初始化为 0，这是 Phoenix 族的惯例。