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Buffalo

Un parent plié du Burning Ship : les termes de coordonnées au carré prennent des valeurs absolues, tandis que le terme croisé garde x signé et ouvre de larges cornes avec des portes intérieures en miroir.

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Fractale Buffalo avec des lobes cornus incurvés, des portes en miroir et des filaments torsadés
Le Buffalo : larges cornes, portes intérieures en miroir et bords de filaments torsadés.

Vue d'ensemble

Buffalo déplace les plis du Burning Ship vers de nouveaux endroits. Il met au carré les parties réelle et imaginaire séparément, prend les valeurs absolues de ces grandeurs au carré et garde x signé dans le terme croisé. Le résultat est distinct à la fois du Burning Ship et des variantes celtiques plus simples.

L'ensemble des paramètres s'ouvre en larges cornes incurvées. À l'intérieur se trouvent des arcades en miroir et des poches en forme d'éclipse, souvent bordées de filaments torsadés. Plie autour de l'axe réel et les moitiés supérieure et inférieure se répondent fidèlement.

Le Burning Ship privilégie des crêtes rectangulaires, semblables à des flammes. Buffalo arrondit ses grands lobes extérieurs, puis réserve les virages nets aux portes intérieures et aux bords des filaments.

Les mathématiques

Buffalo iteration

z(n+1) = absolute x(n) squared minus absolute y(n) squared + 2 i x(n) absolute y(n) + c

The squared coordinate magnitudes make the real part: xₙ₊₁ = |xₙ|² − |yₙ|² + Re(c). The imaginary part pairs signed xₙ with folded yₙ: yₙ₊₁ = 2·xₙ·|yₙ| + Im(c). The difference from Burning Ship sits exactly there: Buffalo folds squared terms one by one, rather than folding raw coordinates before squaring. Keeping xₙ signed preserves a directional imbalance that Burning Ship’s fully folded cross term erases.

Try c = −0.5. Starting from z₀ = 0, the first iteration gives z₁ = |0|² − |0|² + 2i·0·|0| − 0.5 = −0.5. The second iteration: z₂ = |−0.5|² − |0|² + 2i·(−0.5)·|0| − 0.5 = 0.25 − 0.5 = −0.25. The orbit settles into a bounded oscillation between negative real values. With the same c, Burning Ship gives (|−0.5| + i|0|)² − 0.5 = 0.25 − 0.5 = −0.25 at the second step; the paths already differ because it folded the real part before squaring.

Histoire

After Burning Ship appeared in 1992, Buffalo surfaced in the fractal exploration community as one of several variants. It belongs to folded quadratic maps, where shifting an absolute-value operation to another spot in the recurrence reshapes the escape-time geometry.

Buffalo has no single published introduction. It appears to have come from online fractal-software communities, where programs such as Ultra Fractal and Fractal Extreme let people define custom iterations. “Buffalo” likely refers to the large horn-like lobes, resembling a buffalo-head silhouette.

The earliest documented reference is the theory.org fractal dynamics page, which calls Buffalo a Burning Ship derivative. FractalPark uses the HPDZ Buffalo iteration rather than the original Buffalo formula described there.

Caractéristiques visuelles

Broad horns establish the outline, with smooth outer curves cut by sharp inner detail. Inside are mirrored eclipse-like gates and twisted filament edges. The set reflects across the real axis.

Remix et exemples

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Questions fréquentes

Which part of the orbit is folded?

Buffalo takes absolute values of the squared coordinate magnitudes. In the cross term it folds only the imaginary component and keeps x signed. So its folds act after squaring on each coordinate’s magnitude; Burning Ship instead folds both raw components first and squares one complex number.

Can Buffalo produce Julia sets?

Yes. Fix c and vary the starting point z₀ to reveal Buffalo Julia sets. As in the parameter set, the chosen c controls the balance of smooth and angular features. Both connected and disconnected Julia structures appear.

Références