Burning ShipFacile

Burning Ship

Une fractale quadratique à temps de fuite : plie les deux coordonnées avec des valeurs absolues avant la mise au carré, et les bandes de couleur dessinent un contour asymétrique de navire.

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Le Burning Ship : une coque en forme de coin, des crêtes façon flammes au-dessus de l'axe réel et des bandes de temps de fuite en couches.

Vue d'ensemble

Le Burning Ship est proche de l'ensemble de Mandelbrot, mais un seul geste change tout. Avant chaque mise au carré, il remplace les parties réelle et imaginaire de z par leurs valeurs absolues. L'orbite se replie vers les axes et l'application quadratique perd sa symétrie de rotation. L'application n'est plus analytique — elle ne satisfait pas les équations de Cauchy–Riemann — et des coins durs apparaissent le long de son bord.

Adopte la convention d'affichage habituelle, axe réel horizontal et axe imaginaire inversé, et le pli évoque un navire en feu. Une coque en forme de coin repose sous des crêtes semblables à des flammes. Le long de l'axe réel, à gauche, de plus petits navires répètent le même profil dentelé.

Le test habituel du rayon de fuite fonctionne toujours : dès que |z| dépasse 2, la divergence est certaine. Pourtant, cette orbite non analytique ne se comporte plus comme une fonction complexe-analytique. Ses bandes de temps de fuite s'empilent en couches aux arêtes franches et en frontières rectangulaires imbriquées, au lieu des dégradés radiaux lisses de l'ensemble de Mandelbrot.

Les mathématiques

Fold, then square

z_{n+1}=(|\operatorname{Re}z_n|+i|\operatorname{Im}z_n|)^2+c

Both real and imaginary components are reflected to nonnegative values, combined into a complex number, then squared. In expanded form, the real part is xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + Re(c) and the imaginary part is yₙ₊₁ = 2|xₙ||yₙ| + Im(c). At every iteration, the absolute values fold the orbit back toward the axes: if xₙ or yₙ is negative, it is mirrored to positive before the squaring step. That fold produces the sharp, rectangular boundaries that set the Burning Ship apart from the Mandelbrot set’s smooth contours.

Try c = −1. For the Mandelbrot set, the orbit z₀=0, z₁=−1, z₂=0, z₃=−1, … stays bounded (period 2). For the Burning Ship, z₁ = (|0| + i|0|)² − 1 = −1, then z₂ = (|−1| + i|0|)² − 1 = 0, and the orbit settles into the same 2-cycle. Now take a point such as c = i: the fold redirects its orbit where the Mandelbrot iteration would not, producing a different escape decision.

Histoire

In 1992, Michael Michelitsch and Otto E. Rössler first described and rendered the Burning Ship in a Computers & Graphics paper. Both were then researchers at the University of Tübingen (Eberhard Karls Universität Tübingen). Their paper gave the iteration and showed that the absolute-value fold produces what they called a “quasi-Julia set”: it resembles a classical Julia set, but arises from a non-analytic map.

The name “Burning Ship” comes from a close view near the real axis: a dark hull below, flame-like ridges above. Paul Bourke independently implemented the fractal in October 1993, crediting Michelitsch and Rössler; his page became an early online reference.

Because it is a non-analytic alteration of the Mandelbrot recurrence, the formula falls outside the classical complex-dynamics theory Fatou and Julia developed for analytic functions. It has since become one of the most widely explored non-analytic escape-time fractals. Buffalo, Airship, Celtic, and Perpendicular variants rearrange which coordinates are folded and when.

Caractéristiques visuelles

Dark hulls, flame-like masts, and chimney shapes rise through folded layers. Set beside the Mandelbrot set, the asymmetry is immediate.

Remix et exemples

Pars du Document canonique

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Questions fréquentes

What changed from the Mandelbrot set?

Taking absolute values component by component breaks the Mandelbrot set’s rotational symmetry and makes the map non-analytic. Rounded boundaries become angled edges and nested rectangles; escape-time color settles into bands rather than smooth radial gradients.

Why is the ship sometimes upside down?

The canonical formula puts the ship upside down because absolute values turn negative imaginary coordinates positive before squaring. Most renderers, including FractalPark, reflect the image vertically for display. A screen whose Y-axis points down can add a second flip, so the final orientation depends on where the renderer applies that reflection.