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Perpendicular Celtic

Une application quadratique de la famille Perpendicular : plie la partie réelle avant de mettre au carré, plie encore le résultat réel, et la frontière se noue en tresses.

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Fractale Perpendicular Celtic avec des bandes tressées, des arches en miroir et des boucles façon porcelaine
Perpendicular Celtic : bandes entrelacées et arches en miroir, pliées net sur le bord et bouclées à l'intérieur.

Vue d'ensemble

Perpendicular Celtic appartient à la famille Perpendicular des variantes du Burning Ship, aux côtés de Perpendicular Burning Ship et Perpendicular Buffalo. Son mouvement est un double pli : plie la composante réelle avant la mise au carré, puis replie la composante réelle du résultat. La composante imaginaire échappe à ce second pli.

Chaque itération redirige la frontière deux fois. Des formes tressées et entrelacées commencent à apparaître — assez proches des nœuds celtiques pour expliquer le nom. Des arches en miroir, des boucles façon porcelaine et des bandes de temps de fuite prennent des virages à angle droit sur des plis nets.

Dans certaines régions, elle est symétrique par rapport aux axes réel et imaginaire, contrairement à certaines variantes du Burning Ship. La raison, c'est la disposition perpendiculaire : les plis agissent orthogonalement, un axe à la fois plutôt que les deux en même temps.

Les mathématiques

Perpendicular Celtic iteration

Fold the real input, square it, fold the resulting real part, then add c

First fold the real input: construct z' = |xₙ| + iyₙ. Square it: (z')² = (|xₙ|² − yₙ²) + i(2·|xₙ|·yₙ). Then fold the real part of that result: zₙ₊₁ = ||xₙ|² − yₙ²| + i(2·|xₙ|·yₙ) + c.

The double fold reflects the real component twice per iteration: before the square, negative x mirrors to positive; after it, a negative resulting real part mirrors to nonnegative. The imaginary component folds only indirectly, through |xₙ| in the cross term.

Consider c = −0.5. For the Mandelbrot set: z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, bounded. For the Perpendicular Celtic: z₁ = ||0|² − 0²| + i(2·|0|·0) − 0.5 = 0 − 0.5 = −0.5, then z₂ = ||−0.5|² − 0²| + i(2·|−0.5|·0) − 0.5 = |0.25| − 0.5 = −0.25, same orbit. But try c = 0.3i: the double fold redirects the orbit in a way that neither the Mandelbrot set nor the Burning Ship reproduces.

Histoire

Perpendicular Celtic belongs to the “Perpendicular” Burning Ship family, with Perpendicular Burning Ship, Perpendicular Buffalo, and related forms. Like the others, it came from the fractal art community rather than academic research.

“Celtic” names the visual resemblance to Celtic knotwork made by the double fold. “Perpendicular” names the folds’ orthogonal placement: first on the real coordinate before squaring, then on the real part of the result.

It appears in formula browsers supporting custom iterations, including Ultra Fractal, Fractal Extreme, and Mandelbrowser. The earliest documented instances are in online fractal forums and fractal wiki pages cataloging Burning Ship variants.

Caractéristiques visuelles

Braided bands, mirrored arches, and porcelain-like loops gather at folds where escape-time color turns at right angles. From far out, the structure is symmetric across both axes; deeper in, fine asymmetries appear.

Remix et exemples

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Questions fréquentes

Why are absolute values used twice?

The folds act at different moments: the first absolute value folds the real input before squaring; the second folds the squared result’s real part. The real component is therefore reflected twice per iteration, changing how the orbit responds to the parameter c. Compared with the single-fold Burning Ship, the boundary becomes finer and more braided.

Is it simply a rotated Burning Ship?

No. It is related to the Burning Ship through absolute-value folds, but it places them differently in the quadratic step. The Burning Ship folds both raw coordinates before squaring. Perpendicular Celtic folds the real coordinate before squaring and then folds the result’s real part again. That two-stage order gives the orbit a different geometry and a distinct symmetry.

Références