Circle Inversion

Circle Inversion échange la croissance quadratique familière contre une étape quadratique réciproque : prends 1/z², puis décale-le de c. Cela ressemble à un petit échange. Le comportement, lui, ne l'est pas.

Dans une itération polynomiale ordinaire, dès qu'une orbite dépasse une certaine taille, elle continue de s'éloigner de l'origine. Ici, cette logique est retournée comme un gant : ce qui est proche de zéro devient énorme, et une valeur énorme revient près de zéro. Ensuite, c décide où atterrit cette valeur échangée.

L'image est radiale, avec des anneaux imbriqués et de nettes traces axiales. L'origine est un pôle d'ordre 2 — un point où l'application n'est pas définie — et son attraction s'étend à travers le plan des paramètres.

The map z → 1/z² + c sits near the broader rational family known as McMullen maps, z → zⁿ + λ/zⁿ. Curt McMullen introduced that family in the late 1980s, showing rational maps whose parameter spaces contain several kinds of hyperbolic components, including ones with Sierpiński-carpet Julia sets.

With n = 2, λ = 1, and a translation parameter c, this gives the Circle Inversion map. Its name comes from 1/z², which inverts the complex plane with respect to the unit circle and doubles the angle. Robert L. Devaney and others later studied the McMullen family, tracing how escape loci and Julia sets change with parameters. FractalPark renders exactly this map — the n = 2, λ = 1 case with c as the translation parameter.

Concentric bands and radial spines run outward from the pole at the origin. The bands mark regions whose orbits stay bounded or escape at different rates, making nested rings like a target or the ripples from a dropped pebble.

Sharp axial structures form distinct spokes. They come from the inversion’s angular part: 1/z² doubles z’s angle, creating preferred directions where the dynamics line up. The reciprocal quadratic form gives this parameter plane a more rigid radial symmetry than most.