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Inverted Lambda

Une application hybride qui ajoute un terme quadratique rationnel à la récurrence logistique complexe, introduisant des pôles mobiles dans l'orbite.

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$La fractale Inverted Lambda avec des lobes sombres coupés par de brillantes lignes de faille et des structures noueuses$

Le plan des paramètres d'Inverted Lambda : des lobes logistiques interrompus par la correction rationnelle, avec des coutures et de brusques changements d'échelle.

Vue d'ensemble

Inverted Lambda commence avec la récurrence logistique de la fractale Lambda et ajoute une correction rationnelle. Le premier terme, c·z(1−z), est l'application logistique complexe standard. Le second, 0.18/(z² + c), est réciproque et quadratique ; quand son dénominateur s'approche de zéro, il peut projeter l'orbite vers de très grandes valeurs.

Cette fraction change les règles. La simple application logistique est un polynôme, lisse partout ; Inverted Lambda est une application rationnelle avec des pôles mobiles. Une orbite peut se diriger vers l'infini par une croissance sans bornes, ou en errant trop près du diviseur. Les lobes arrondis du parent demeurent, mais des coutures dentelées, des enchevêtrements noueux et de brusques changements d'échelle les traversent.

Le 0.18 est fixe, ce n'est pas un paramètre de plus. Il maintient actives les contributions polynomiale et rationnelle dans un nombre modéré d'itérations.

Les mathématiques

Lambda-reciprocal iteration

z_{n+1}=c z_n(1-z_n)+\frac{0.18}{z_n^2+c}

Every step combines two contributions. First comes c·z(1−z), the quadratic logistic step behind the Lambda parameter set. Then comes a rational correction with fixed numerator 0.18 and denominator z² + c. A large denominator makes that correction small, so the map nearly follows the pure logistic version. Near z² + c = 0, it surges and may send the orbit far away.

Take c = 1 + i and start at z₀ = 0. The first term gives 1 × 0 × 1 = 0. The second term: 0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i. So z₁ ≈ 0.09 − 0.09i: a small nudge away from the logistic baseline. On later steps the rational term keeps steering, creating paths unavailable to the pure logistic family. The denominator z² + c marks the poles—near-singular values—and their positions move with c.

Histoire

Inverted Lambda is a hybrid construction joining two well-studied complex-dynamics families. Its logistic base comes from the lambda fractal tradition studied by Mandelbrot (1980). Adding a reciprocal quadratic term to a polynomial map relates to singular perturbation, which Curt McMullen explored in the late 1980s for rational maps zⁿ + λ/zⁿ.

This particular pairing—a logistic map and a reciprocal quadratic with a fixed constant numerator—appears to be a novel fractal-rendering formulation. It does not trace to one historical paper; it draws on ideas developed across decades of complex-dynamics research. “Inverted Lambda” describes the construction rather than a term from the research literature.

Caractéristiques visuelles

The parameter plane keeps the logistic family’s rounded lobes, but sharp seams, dense knots, and patches where color suddenly deepens or brightens interrupt them. Near a pole, an orbit makes a large jump, and the escape-time coloring records that break.

It can resemble a smooth surface cracked from within. Far from the poles, the parent Lambda structure is still legible; the rational correction draws angular, crystalline detail across it.

Remix et exemples

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Midnight Faultline

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Questions fréquentes

What is inverted in this formula?

“Inverted” names the reciprocal term added to the logistic recurrence. It is not a geometric flip of the image or a reflection of the parameter plane. The reciprocal quadratic term 1/(z² + c) is the inversion meant here.

Where can poles occur?

A pole occurs wherever the denominator z² + c is zero — that is, when z = ±√(−c). Since c is free, pole locations depend on the parameter being explored. An evolving orbit may pass close to one, making the rational term spike and the trajectory jump far away.