FractalPark
PhoenixMoyen

Multi-Phoenix

Une récurrence quadratique avec mémoire : un coefficient complexe transporte la valeur d'orbite précédente vers l'étape suivante, produisant des formes emplumées, semblables à des flammes.

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Fractale Multi-Phoenix avec des rayons emplumés et des amas de filaments façon braises (« Ember Compass »)
La Multi-Phoenix de FractalPark (« Ember Compass ») : des rayons de boussole irradient à travers des amas de filaments lumineux.

Vue d'ensemble

Multi-Phoenix se souvient de sa dernière étape. Cette récurrence du second ordre utilise à la fois le z courant et la valeur d'orbite immédiatement précédente, en pondérant cette dernière par le coefficient de mémoire complexe p. Cette mémoire change la direction d'un motif et sa durée de vie.

L'étape de Julia standard, z → z² + c, n'a pas de mémoire. Phoenix fait avancer l'ancien z sous la forme p·zₙ₋₁. Modifie p et le passé porte un poids différent ; comme p est complexe, ce poids peut aussi bien tourner que croître ou diminuer. S'ensuivent des rayons emplumés, des éventails de flammes, des rosettes de boussole et des amas de braises.

Les filaments évoquaient les ailes et la queue de l'oiseau mythique, d'où « Phoenix ». Shigehiro Ushiki, de l'université de Kyoto, l'a découverte et publiée en 1988.

Les mathématiques

Phoenix recurrence

z(n+1) = z(n)^2 + c + p times z(n-1)

Take the standard quadratic step zₙ² + c, then add p times the value from two steps ago. A second-order recurrence needs two starting values before its first iteration: z₀ and the “previous” value, usually 0. FractalPark exposes p as an adjustable complex control.

Try the classic Phoenix parameter pair c = 0.5667 and p = −0.5. Starting with z₀ = 0 and z₋₁ = 0, the first few values stay bounded and trace angular, wing-like arcs. Make p positive with a similar magnitude and the feathered structure can break apart or rotate: the memory term now reinforces the earlier direction instead of opposing it.

Histoire

Shigehiro Ushiki, a mathematician in Kyoto University’s Graduate School of Human and Environmental Studies, discovered the Phoenix fractal. In 1988, he published the Phoenix iteration in IEEE Transactions on Circuits and Systems. He presented it as a complex-one-dimensional section of a Julia-like set derived from a complexified Hénon map. The paper is simply titled "Phoenix." The classic parameter pair (c = 0.5667, p = −0.5) produces the named Phoenix curve, later well known in fractal-rendering communities.

Ushiki’s broader research covers complex dynamical systems, Julia sets with polyhedral symmetries, higher-dimensional complex Hénon maps, and the dynamics of surface automorphisms. His Kyoto University homepage lists publications from the 1980s to the present.

The Phoenix family later appeared in Ultra Fractal and other fractal software in both Julia-mode and Mandelbrot-mode variants. FractalPark’s Multi-Phoenix uses the same core recurrence and adds a multi-preview parameter interface.

Caractéristiques visuelles

That one-step memory is visible in feathered spokes radiating from centres, flame-like fans curling along filaments, and compass forms with a sense of direction. A standard quadratic Julia does not make these in the same way; they rely on the directional persistence of p·zₙ₋₁.

With different parameters, the same rule can close into ember-like clusters, open into radiating pinwheels, or dissolve into dust-like regions. FractalPark’s “Ember Compass” foregrounds the compass spokes and warm filament clusters.

Paramètres

Mémoire
The complex memory coefficient p sets both the strength and the rotational direction of the previous orbit value’s influence on the next step.

Remix et exemples

Pars du Document canonique

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Questions fréquentes

Why does this formula need the previous value?

The recurrence is second-order: its next state depends on the current and immediately preceding orbit values. It is a discrete analogue of a delay differential equation, where the past feeds back into the present. The extra parameter p sets how much of that past continues forward.

Does the initial previous value matter?

Yes. A second-order recurrence requires two initial conditions — z₀ and the value of z before iteration begins (z₋₁) — for a deterministic orbit. FractalPark initializes z₋₁ to zero by default, the standard convention for the Phoenix family.

Références