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Spider

Une application rationnelle qui ajoute c/z à une orbite quadratique ; le pôle à zéro étire de longues pattes et des filaments de toile.

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La fractale Spider : de longues pattes et des filaments abyssaux rayonnant depuis un cœur central sombre
La fractale Spider rendue par FractalPark : de longues pattes et des filaments de toile émergent d'un cœur sombre, dans des bleus et des noirs abyssaux profonds.

Vue d'ensemble

La formule Spider associe le terme quadratique familier z² à c/z. C'est une application rationnelle de degré 2 avec deux attractions concurrentes. Loin de zéro, z² mène l'orbite à peu près comme dans une fuite quadratique de Mandelbrot. Tout près, c/z prend le relais et pointe vers le pôle à l'origine.

Cette compétition étire la frontière du paramètre en filaments ramifiés, pas seulement en un seuil de fuite décalé. Un centre étroit, des pattes rayonnantes et des lacunes sombres expliquent le nom.

Comme la règle divise par z, z = 0 est singulier. Les moteurs de rendu doivent traiter les valeurs extrêmement proches de zéro avec un repli numérique. c lui-même peut être nul ; l'application devient alors z² et la dynamique de Julia quadratique ordinaire revient.

Les mathématiques

Spider iteration

z(n+1) = z(n)^2 + c / z(n)

The reciprocal term gives a quadratic orbit a sharp tug around the pole at zero.

Start with c = 0. The reciprocal term vanishes, leaving z², the standard quadratic Julia map; initial values inside the unit disk can still have bounded orbits.

Now take c = 1 and z₀ = (1, 0). The first iteration gives z₁ = 1² + 1/1 = 2, already far from the origin; the next gives z₂ = 4 + 1/2 = 4.5, and escape is rapid. Begin near zero instead—say z₀ = (0.01, 0)—and 1/0.01 = 100 dominates, throwing the orbit out at once. The spider filaments live on the boundary between those regimes.

Caractéristiques visuelles

Long legs, dark filaments, and web-like junctions run out from a narrow centre. The origin's singularity makes a dark core; from it the threads branch and thin.

The canonical FractalPark rendering uses deep blues and blacks. The rational term breaks full symmetry, leaving the set slightly twisted rather than neatly balanced.

Remix et exemples

Pars du Document canonique

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Questions fréquentes

What happens at z = 0?

At z = 0 the reciprocal term asks for division by zero, which is undefined. The implementation uses a stable fallback for extremely small values, by clamping the magnitude or substituting a small constant. This does not change the visible structure: points entering that near-zero zone are normally flung outward by the large reciprocal value on the next step.

What creates the spider‑like legs?

The legs form where quadratic expansion and reciprocal attraction are nearly balanced. There an orbit can alternate between a pull toward zero and a throw outward, drawing the boundary between bounded and escaping behaviour into long threads. The effect is strongest near the origin, where the reciprocal term is largest; farther out, z² regains control and the threads taper.