이색보통

Inverted Lambda

복소 로지스틱 점화식에 유리 이차 항을 더한 혼합 사상이에요. 움직이는 극을 궤도 안으로 들여와요.

Inverted Lambda 매개변수 평면: 유리 보정에 끊긴 로지스틱 돌출부, 이음새와 갑작스러운 스케일 변화가 함께 보여요.

개요

Inverted Lambda는 Lambda 프랙탈의 로지스틱 점화식에서 시작해 유리 보정 항을 더해요. 첫 번째 항 c·z(1−z)는 표준 복소 로지스틱 사상이에요. 두 번째 항 0.18/(z² + c)은 역수형 이차 항인데, 분모가 0에 가까워지면 궤도를 아주 큰 값으로 내던질 수 있어요.

그 분수가 규칙을 바꿔요. 순수 로지스틱 사상은 어디서나 매끄러운 다항식이지만, Inverted Lambda는 움직이는 극을 가진 유리 사상이에요. 궤도는 제한 없는 성장을 통해, 또는 제수에 너무 가까이 다가가서 무한대를 향할 수 있어요. 원래 사상의 둥근 돌출부는 남아 있지만, 톱니 모양 이음새, 매듭 같은 얽힘, 갑작스러운 스케일 변화가 그 사이를 가로질러요.

0.18은 또 다른 매개변수가 아니라 고정값이에요. 적당한 반복 횟수 안에서 다항식 기여와 유리 기여가 모두 활성화되도록 유지해 줘요.

수학

Lambda-reciprocal iteration

z_{n+1}=c z_n(1-z_n)+\frac{0.18}{z_n^2+c}

Every step combines two contributions. First comes c·z(1−z), the quadratic logistic step behind the Lambda parameter set. Then comes a rational correction with fixed numerator 0.18 and denominator z² + c. A large denominator makes that correction small, so the map nearly follows the pure logistic version. Near z² + c = 0, it surges and may send the orbit far away.

Take c = 1 + i and start at z₀ = 0. The first term gives 1 × 0 × 1 = 0. The second term: 0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i. So z₁ ≈ 0.09 − 0.09i: a small nudge away from the logistic baseline. On later steps the rational term keeps steering, creating paths unavailable to the pure logistic family. The denominator z² + c marks the poles—near-singular values—and their positions move with c.

역사

Inverted Lambda is a hybrid construction joining two well-studied complex-dynamics families. Its logistic base comes from the lambda fractal tradition studied by Mandelbrot (1980). Adding a reciprocal quadratic term to a polynomial map relates to singular perturbation, which Curt McMullen explored in the late 1980s for rational maps zⁿ + λ/zⁿ.

This particular pairing—a logistic map and a reciprocal quadratic with a fixed constant numerator—appears to be a novel fractal-rendering formulation. It does not trace to one historical paper; it draws on ideas developed across decades of complex-dynamics research. “Inverted Lambda” describes the construction rather than a term from the research literature.

시각적 특징

The parameter plane keeps the logistic family’s rounded lobes, but sharp seams, dense knots, and patches where color suddenly deepens or brightens interrupt them. Near a pole, an orbit makes a large jump, and the escape-time coloring records that break.

It can resemble a smooth surface cracked from within. Far from the poles, the parent Lambda structure is still legible; the rational correction draws angular, crystalline detail across it.

리믹스와 예제

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자주 묻는 질문

What is inverted in this formula?

“Inverted” names the reciprocal term added to the logistic recurrence. It is not a geometric flip of the image or a reflection of the parameter plane. The reciprocal quadratic term 1/(z² + c) is the inversion meant here.

Where can poles occur?

A pole occurs wherever the denominator z² + c is zero — that is, when z = ±√(−c). Since c is free, pole locations depend on the parameter being explored. An evolving orbit may pass close to one, making the rational term spike and the trajectory jump far away.

개요

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