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Inverted Lambda

Um mapa híbrido que adiciona um termo quadrático racional à recorrência logística complexa, trazendo polos móveis para a órbita.

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$O fractal Inverted Lambda com lobos escuros divididos por linhas de falha brilhantes e estruturas semelhantes a nós$

O plano de parâmetros do Inverted Lambda: lobos logísticos interrompidos pela correção racional, com costuras e mudanças abruptas de escala.

Visão geral

O Inverted Lambda começa com a recorrência logística do fractal Lambda e adiciona uma correção racional. O primeiro termo, c·z(1−z), é o mapa logístico complexo padrão. O segundo, 0.18/(z² + c), é recíproco e quadrático; quando seu denominador se aproxima de zero, ele pode arremessar a órbita a valores muito grandes.

Essa fração muda as regras. O mapa logístico simples é um polinômio, suave em toda parte; o Inverted Lambda é um mapa racional com polos móveis. Uma órbita pode rumar ao infinito por crescimento ilimitado ou por vagar perto demais do divisor. Os lobos redondos do pai permanecem, mas costuras irregulares, emaranhados semelhantes a nós e mudanças abruptas de escala os cortam.

O 0.18 é fixo, não é outro parâmetro. Ele mantém as contribuições polinomial e racional ativas dentro de um número moderado de iterações.

A Matemática

Lambda-reciprocal iteration

z_{n+1}=c z_n(1-z_n)+\frac{0.18}{z_n^2+c}

Every step combines two contributions. First comes c·z(1−z), the quadratic logistic step behind the Lambda parameter set. Then comes a rational correction with fixed numerator 0.18 and denominator z² + c. A large denominator makes that correction small, so the map nearly follows the pure logistic version. Near z² + c = 0, it surges and may send the orbit far away.

Take c = 1 + i and start at z₀ = 0. The first term gives 1 × 0 × 1 = 0. The second term: 0.18 / (0 + (1+i)) = 0.18/(1+i) = 0.09 − 0.09i. So z₁ ≈ 0.09 − 0.09i: a small nudge away from the logistic baseline. On later steps the rational term keeps steering, creating paths unavailable to the pure logistic family. The denominator z² + c marks the poles—near-singular values—and their positions move with c.

História

Inverted Lambda is a hybrid construction joining two well-studied complex-dynamics families. Its logistic base comes from the lambda fractal tradition studied by Mandelbrot (1980). Adding a reciprocal quadratic term to a polynomial map relates to singular perturbation, which Curt McMullen explored in the late 1980s for rational maps zⁿ + λ/zⁿ.

This particular pairing—a logistic map and a reciprocal quadratic with a fixed constant numerator—appears to be a novel fractal-rendering formulation. It does not trace to one historical paper; it draws on ideas developed across decades of complex-dynamics research. “Inverted Lambda” describes the construction rather than a term from the research literature.

Características Visuais

The parameter plane keeps the logistic family’s rounded lobes, but sharp seams, dense knots, and patches where color suddenly deepens or brightens interrupt them. Near a pole, an orbit makes a large jump, and the escape-time coloring records that break.

It can resemble a smooth surface cracked from within. Far from the poles, the parent Lambda structure is still legible; the rational correction draws angular, crystalline detail across it.

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Perguntas Frequentes

What is inverted in this formula?

“Inverted” names the reciprocal term added to the logistic recurrence. It is not a geometric flip of the image or a reflection of the parameter plane. The reciprocal quadratic term 1/(z² + c) is the inversion meant here.

Where can poles occur?

A pole occurs wherever the denominator z² + c is zero — that is, when z = ±√(−c). Since c is free, pole locations depend on the parameter being explored. An evolving orbit may pass close to one, making the rational term spike and the trajectory jump far away.