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Perpendicular Celtic

Um mapa quadrático da família Perpendicular: dobre a parte real antes de elevar ao quadrado, dobre novamente o resultado real, e a borda se entrelaça em tranças.

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Fractal Perpendicular Celtic com faixas trançadas, arcos espelhados e laços semelhantes a porcelana
Perpendicular Celtic: faixas entrelaçadas e arcos espelhados, dobrados de forma acentuada na borda e em laços no interior.

Visão geral

O Perpendicular Celtic pertence à família Perpendicular das variantes do Burning Ship, junto com o Perpendicular Burning Ship e o Perpendicular Buffalo. Seu movimento é uma dupla dobra: dobre o componente real antes de elevar ao quadrado e depois dobre novamente o componente real do resultado. O componente imaginário não passa pela segunda dobra.

Cada iteração redireciona a borda duas vezes. Formas trançadas e entrelaçadas começam a aparecer — próximas o bastante dos nós celtas para explicar o nome. Arcos espelhados, laços semelhantes a porcelana e faixas de tempo de escape fazem curvas de ângulo reto em dobras acentuadas.

Em algumas regiões, ele é simétrico em relação aos eixos real e imaginário, ao contrário de algumas variantes do Burning Ship. A razão está no arranjo perpendicular: as dobras atuam ortogonalmente, um eixo por vez, em vez de ambos ao mesmo tempo.

A Matemática

Perpendicular Celtic iteration

Fold the real input, square it, fold the resulting real part, then add c

First fold the real input: construct z' = |xₙ| + iyₙ. Square it: (z')² = (|xₙ|² − yₙ²) + i(2·|xₙ|·yₙ). Then fold the real part of that result: zₙ₊₁ = ||xₙ|² − yₙ²| + i(2·|xₙ|·yₙ) + c.

The double fold reflects the real component twice per iteration: before the square, negative x mirrors to positive; after it, a negative resulting real part mirrors to nonnegative. The imaginary component folds only indirectly, through |xₙ| in the cross term.

Consider c = −0.5. For the Mandelbrot set: z₁ = −0.5, z₂ = −0.25, bounded. For the Perpendicular Celtic: z₁ = ||0|² − 0²| + i(2·|0|·0) − 0.5 = 0 − 0.5 = −0.5, then z₂ = ||−0.5|² − 0²| + i(2·|−0.5|·0) − 0.5 = |0.25| − 0.5 = −0.25, same orbit. But try c = 0.3i: the double fold redirects the orbit in a way that neither the Mandelbrot set nor the Burning Ship reproduces.

História

Perpendicular Celtic belongs to the “Perpendicular” Burning Ship family, with Perpendicular Burning Ship, Perpendicular Buffalo, and related forms. Like the others, it came from the fractal art community rather than academic research.

“Celtic” names the visual resemblance to Celtic knotwork made by the double fold. “Perpendicular” names the folds’ orthogonal placement: first on the real coordinate before squaring, then on the real part of the result.

It appears in formula browsers supporting custom iterations, including Ultra Fractal, Fractal Extreme, and Mandelbrowser. The earliest documented instances are in online fractal forums and fractal wiki pages cataloging Burning Ship variants.

Características Visuais

Braided bands, mirrored arches, and porcelain-like loops gather at folds where escape-time color turns at right angles. From far out, the structure is symmetric across both axes; deeper in, fine asymmetries appear.

Remix e Exemplos

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Perguntas Frequentes

Why are absolute values used twice?

The folds act at different moments: the first absolute value folds the real input before squaring; the second folds the squared result’s real part. The real component is therefore reflected twice per iteration, changing how the orbit responds to the parameter c. Compared with the single-fold Burning Ship, the boundary becomes finer and more braided.

Is it simply a rotated Burning Ship?

No. It is related to the Burning Ship through absolute-value folds, but it places them differently in the quadratic step. The Burning Ship folds both raw coordinates before squaring. Perpendicular Celtic folds the real coordinate before squaring and then folds the result’s real part again. That two-stage order gives the orbit a different geometry and a distinct symmetry.

Referências