Burning ShipFácil

Burning Ship

Um fractal quadrático de tempo de escape: dobre as duas coordenadas com valores absolutos antes de elevar ao quadrado, e as faixas de cor formam um contorno assimétrico semelhante a um navio.

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O Burning Ship: um casco em forma de cunha, cristas semelhantes a chamas acima do eixo real e faixas de tempo de escape em camadas.

Visão geral

O Burning Ship está próximo do conjunto de Mandelbrot, mas um único movimento muda tudo. Antes de cada quadratura, ele substitui as partes real e imaginária de z por seus valores absolutos. A órbita se dobra em direção aos eixos, e o mapa quadrático perde sua simetria rotacional. O mapa deixa de ser analítico — não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann — e cantos duros aparecem ao longo de sua borda.

Use a convenção usual de exibição, com o eixo real horizontal e o eixo imaginário invertido, e a dobra sugere um navio em chamas. Um casco em forma de cunha fica abaixo de cristas semelhantes a chamas. Ao longo da reta real, à esquerda, navios menores repetem o mesmo perfil irregular.

O teste usual do raio de escape ainda funciona: assim que |z| ultrapassa 2, a divergência é certa. No entanto, esta órbita não analítica não se comporta mais como uma função complexo-analítica. Suas faixas de tempo de escape se empilham em camadas de bordas duras e fronteiras retangulares aninhadas, em vez dos gradientes radiais suaves do conjunto de Mandelbrot.

A Matemática

Fold, then square

z_{n+1}=(|\operatorname{Re}z_n|+i|\operatorname{Im}z_n|)^2+c

Both real and imaginary components are reflected to nonnegative values, combined into a complex number, then squared. In expanded form, the real part is xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + Re(c) and the imaginary part is yₙ₊₁ = 2|xₙ||yₙ| + Im(c). At every iteration, the absolute values fold the orbit back toward the axes: if xₙ or yₙ is negative, it is mirrored to positive before the squaring step. That fold produces the sharp, rectangular boundaries that set the Burning Ship apart from the Mandelbrot set’s smooth contours.

Try c = −1. For the Mandelbrot set, the orbit z₀=0, z₁=−1, z₂=0, z₃=−1, … stays bounded (period 2). For the Burning Ship, z₁ = (|0| + i|0|)² − 1 = −1, then z₂ = (|−1| + i|0|)² − 1 = 0, and the orbit settles into the same 2-cycle. Now take a point such as c = i: the fold redirects its orbit where the Mandelbrot iteration would not, producing a different escape decision.

História

In 1992, Michael Michelitsch and Otto E. Rössler first described and rendered the Burning Ship in a Computers & Graphics paper. Both were then researchers at the University of Tübingen (Eberhard Karls Universität Tübingen). Their paper gave the iteration and showed that the absolute-value fold produces what they called a “quasi-Julia set”: it resembles a classical Julia set, but arises from a non-analytic map.

The name “Burning Ship” comes from a close view near the real axis: a dark hull below, flame-like ridges above. Paul Bourke independently implemented the fractal in October 1993, crediting Michelitsch and Rössler; his page became an early online reference.

Because it is a non-analytic alteration of the Mandelbrot recurrence, the formula falls outside the classical complex-dynamics theory Fatou and Julia developed for analytic functions. It has since become one of the most widely explored non-analytic escape-time fractals. Buffalo, Airship, Celtic, and Perpendicular variants rearrange which coordinates are folded and when.

Características Visuais

Dark hulls, flame-like masts, and chimney shapes rise through folded layers. Set beside the Mandelbrot set, the asymmetry is immediate.

Remix e Exemplos

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Perguntas Frequentes

What changed from the Mandelbrot set?

Taking absolute values component by component breaks the Mandelbrot set’s rotational symmetry and makes the map non-analytic. Rounded boundaries become angled edges and nested rectangles; escape-time color settles into bands rather than smooth radial gradients.

Why is the ship sometimes upside down?

The canonical formula puts the ship upside down because absolute values turn negative imaginary coordinates positive before squaring. Most renderers, including FractalPark, reflect the image vertically for display. A screen whose Y-axis points down can add a second flip, so the final orientation depends on where the renderer applies that reflection.