FractalPark
ExóticaDifícil

Zaslavsky Map

Um mapa seno complexo: o seno curva a órbita, uma rotação fixa de 0.55 radiano a gira e c a desloca — uma adaptação inspirada no mapa dissipativo de rotor chutado de George Zaslavsky, de 1978.

Abrir no Explorar
O mapa de Zaslavsky: braços giratórios e anéis semelhantes a mandalas em laranja e dourado quentes
O mapa de Zaslavsky renderizado pelo FractalPark: arcos concêntricos e raios radiantes formam uma mandala brilhante em laranjas e dourados quentes.

Visão geral

O mapa de Zaslavsky curva uma órbita com seno, gira o resultado pela fase complexa fixa (e^{0.55i}) e depois soma c. Um mapa polinomial de escape tira seu caráter de potências de z cada vez maiores. Aqui, a trama vem de curvas periódicas encontrando uma rotação constante.

Em 1978, George M. Zaslavsky introduziu o mapa original para modelar um rotor chutado dissipativo: um corpo em rotação recebendo chutes repetidos enquanto o atrito drena energia. Esse mapa clássico é bidimensional e usa variáveis reais de ação-ângulo. O FractalPark reformula a ideia em uma variável complexa: o seno fornece o chute não linear, o multiplicador complexo fixo fornece a rotação, e c torna possíveis imagens de tempo de escape com varredura de parâmetros.

O seno complexo pode crescer sem limite ao longo do eixo imaginário, então este não é um escape polinomial simples. Uma órbita pode circular por um tempo e depois se despedaçar. Essa hesitação deixa braços giratórios e anéis concêntricos, especialmente após uma transformação espacial caleidoscópica.

A Matemática

Sinusoidal rotation map

z(n+1) = exp(0.55 i) times (z(n) + 0.28 sin(z(n))) + c

Sine bends z; the fixed complex multiplier turns it; c shifts the result.

Start on the real axis. For z₀ = (0, 0), sin(0) = 0, so z₁ = e^{0.55i} × 0 + c = c. After that, complex sine can grow: the magnitude of sin(a + ib) contains terms up to cosh(b). A point with a large imaginary coordinate gets a large kick from sine, and is more likely to escape.

The 0.55-radian rotation (about 31.5°) is not a parameter; it is hard-coded in the formula. Every orbit gets the same angular twist each time. Hence the swirls.

História

George M. Zaslavsky (1929–2008) was a Soviet‑born mathematical physicist who made foundational contributions to the theory of dynamical chaos. He introduced the map that now bears his name in a 1978 paper titled "The Simplest Case of a Strange Attractor," published in Physics Letters A. The map was derived as a stroboscopic description of a dissipative kicked rotor — a rotating system that receives periodic impulses and loses energy through friction.

Zaslavsky later moved to the United States, joining New York University's physics department and the Courant Institute of Mathematical Sciences. He authored several books on Hamiltonian chaos and fractional dynamics. The Scholarpedia article on the Zaslavsky map, written by Zaslavsky himself in 2007, provides an authoritative technical reference.

Classical Zaslavsky maps operate on two real variables (action and angle). The complex variant used by FractalPark, with its sine perturbation and fixed complex multiplier, is a creative adaptation suitable for escape‑time rendering rather than a direct transcription of the original dissipative system.

Características Visuais

Kaleidoscopic transforms make the swirling arms and mandala-like rings especially clear. The canonical image sets concentric arcs and radiating spokes around a central region where the sine perturbation keeps orbits bounded.

Warm oranges and golds sit against deep black in the canonical rendering. Constant rotation curves the arms; sine puts fine ripples along the ring edges.

Remix e Exemplos

Comece pelo Documento canônico

Abra o mesmo estado de fórmula aprovado usado por este guia e depois altere a visualização, a coloração, as transformações ou a animação no Explorar interativo.

Remixar no ExplorarAbrir Editor de Fórmulas

Perguntas Frequentes

Where does the rotation come from?

The map multiplies the perturbed orbit by e^{0.55i}, the unit complex number that turns the plane about 31.5° counter-clockwise. It happens on every iteration and is fixed in the formula, not adjustable by the user. The 0.55-radian value was chosen empirically for balanced swirls.

Is kaleidoscope part of the formula?

No. Kaleidoscope is an optional spatial transform outside the iteration. It reflects or copies sectors of the parameter plane. The Zaslavsky Map has no built-in reflection symmetry; the kaleidoscope is a separate rendering step that can be switched independently.

Referências