经典进阶

曼德盒

受 Tom Lowe 2010 年 Mandelbox 启发的折叠与缩放映射：盒反射、径向折叠和缩放轮番上场，把迭代折成了墙与厅室。

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FractalPark 渲染的曼德盒二维映射：直线墙面、直角角落与层层凹陷，犹如水晶要塞的内部。

概览

多数分形公式从平方开始，比如 z² + c。曼德盒换了一条路：先用盒折叠把固定方形边界外的坐标折回；再用径向折叠（球折叠）按点到原点的距离决定反演还是缩放；最后拉伸或压缩，再加上 c。反复做下去，搭出结构的是折叠，不是平方。

这套几何操作靠的是反射和球面反演，不限于某个维数，因此曼德盒可在任意维数下构造。FractalPark 渲染的是它的二维变体，在复平面上保留折叠与缩放的核心逻辑。

这张参数地图没有平滑多项式分形的弧线感。硬朗的腔室、嵌套堡垒和走廊般的通道从折叠中冒出来。有界轨道与逃逸轨道之间的边界也不是光滑曲线，而是锯齿状的自相似界面；缩小尺度，同样的盒状构造会一再重现。

数学原理

折叠与缩放迭代

z_{n+1}=s\,\operatorname{ballFold}(\operatorname{boxFold}(z_n))+c

每一轮，轨道依次经过四步：盒折叠、按半径折叠、缩放，最后加上 c。

盒折叠分别处理每个坐标分量。取 z 的某个分量 a：a 大于 1 时，反射为 a → 2 − a；小于 −1 时，反射为 a → −2 − a。[−1, 1] 内的分量不动。平面外的坐标就这样折回中心方块。

接着是球折叠，它查看模长平方 r² = |z|²：若 r² < 0.25（即 |z| < 0.5），点被放大 4 倍，推离原点；若 0.25 ≤ r² < 1，点穿过单位球面反演：z → z/r²，模长 m 变为 1/m；r² ≥ 1 的点不动。近原点的点被推远，中间环带被折过单位球面。

试试令 z₀ = (1.5, 0)，缩放系数 s = 2。盒折叠将 x = 1.5 反射为 x = 0.5；此时 r² = 0.25 落在中间环带，球折叠将其反演：z = z/r² = (2, 0)；乘以缩放系数得 (4, 0)，再加上 c 完成这一步。若从原点出发，则落在最内环带：球折叠把它乘以 4——仍停在原点——所以第一次迭代恰好落在 c 上。

历史

曼德盒由 Tom Lowe（在线化名 Tglad）于 2010 年初在 FractalForums 社区首次发布。Lowe 当时正在尝试三维空间中的迭代折叠操作——盒反射与球面反演——希望看看它们能否像曼德布罗特集那样产生有界的自相似结构。结果被迅速确认为一类新的分形，Mandelbox 这个名称既是对曼德布罗特集的致敬，也因为可视化时集合呈现出盒状外观。

这一发现紧随 2009 年 Daniel White 与 Paul Nylander 的 Mandelbulb 之后，后者曾引发了对非平凡三维分形的广泛业余研究兴趣。数月之内，FractalForums 上的贡献者——包括 Knighty、Jesse 等人——就将曼德盒思想扩展到了不同对称平面和多面体折叠。

尽管曼德盒在分形艺术软件（Mandelbulber、Mandelbulb3D、Fragmentarium、Ultra Fractal）中广受欢迎，其数学形式分析仍然有限。Gregg Helt 在 2018 年 Bridges 会议论文中将球面反演推广到任意形状反演，是目前为数不多的同行评议处理之一。

视觉特征

反复折叠会形成硬朗的腔室、嵌套堡垒和有纵深的走廊。默认参数 s = 2 让直线墙面、直角角落和层层凹陷聚在一起，像水晶要塞的内部。

在更小的尺度上，盒状主题不断重现——整体形状的微缩副本藏在凹陷处和边界沿线，仍保持直线几何。标准渲染图以冷蓝色和青色为主调，贴合折叠操作的机械感。

参数

缩放: 缩放参数决定折叠后的轨道在加上 c 之前扩张、收缩或反向的力道。默认值 2 大致将折叠结果加倍；负值会反转方向，产生镜像变体。

再创作与示例

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钴蓝堡阵

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常见问题

什么是盒折叠与球折叠？

盒折叠把坐标中超出固定区间的部分朝原点方向反射回来——像把纸张边缘向内折。球折叠（或称球面折叠）按距离反演：太靠近原点的点被推远，中等距离的点穿过球面反演，远处的点保持不变。两者在每次迭代中改写轨道方向，产生曼德盒的分层结构。

这是三维 Mandelbox 吗？

不是。FractalPark 渲染的是采用相似折叠与缩放思想的二维映射。原始的 Mandelbox 最常在三维空间中探索，其盒折叠反射的是立方体的六个面；这里的折纸逻辑作用于复平面的正方形边界。

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