McMullen 2–3 映射属于通常写作 \(f_\lambda(z)=z^n+\lambda/z^d\) 的一族函数。FractalPark 用 \(c\) 表示参数，取 \(n=2\)、\(d=3\)。起初它像二次映射多加了一项；可 \(z^3\) 一进分母，规矩就变了：原点不是普通点，而是极点。
一条公式里有两片地带。远离原点，\(z^2\) 占上风，把大数推得更远；贴近零，\(c/z^3\) 接手，也把点送向无穷，只是要穿过极点。中间那条边界一直在移动，谁也压不住谁。
这条边界会闭成圆环、碎成珠链似的圆胞，或连成一张网。形态取决于参数 \(c\) 和临界点的轨道。McMullen 家族没有统一的轮廓。
每一步先把当前复数平方，再加上 \(c/z^3\)。当 \(|z|\) 很大时，第一项约按 \(|z|^2\) 增长，倒数项按 \(1/|z|^3\) 衰减。靠近零时，局面翻过来，倒数项会急剧增大。
把两项通分，可以得到
$$ f_c(z)=\frac{z^5+c}{z^3}. $$
映射在 \(z=0\) 有一个三阶极点；当 \(c\neq0\) 时，它作为有理映射的次数是五。“2–3”说的是原公式中两个幂的指数，不是映射次数。
严格的数学定义里，原点会在黎曼球面上映到无穷远点。数值渲染器不能真的除以零，FractalPark 因而把极接近原点的值换成很小的非零值，并保护分母。这是计算上的护栏，不是另一条数学公式。
这族映射得名于数学家 Curtis T. McMullen。1988 年，他在论文 *Automorphisms of Rational Maps* 第 7 节构造了一类有理映射，其 Julia 集会分裂成“Jordan 曲线的 Cantor 集”——可以把它想成无穷多条彼此分离的闭合曲线，又以 Cantor 集的方式排列。后来的研究者把与这一构造相关的 \(z^n+\lambda/z^d\) 称为 McMullen 映射。McMullen 现任哈佛大学 Cabot 数学教授，他的个人学术主页和论文目录仍可直接访问。
2–3 是满足下面这个特征不等式的最小整数组合：
$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{d}<1, $$
因为 \(1/2+1/3=5/6\)。它也给出了这部分理论里最低的映射次数 \(n+d=5\)。不过，只满足不等式并不意味着每个参数都一定产生圆圈；相关临界轨道还必须进入特定的逃逸区域。
McMullen 之后的研究进一步厘清了参数与形态之间的关系。Robert Devaney、Daniel Look 和 David Uminsky 在 2005 年证明了“逃逸三分律”：当自由临界轨道逃向无穷时，Julia 集可能是 Cantor 集、圆圈的 Cantor 集，或 Sierpiński 曲线，具体取决于它以何种方式进入无穷远吸引域。
示例图围着一个明亮宽阔的中央空腔展开。外面是一圈大小不一、像吹起的圆胞；再往外是细密的小圆胞花边。最初平滑的淡蓝环带，靠近看便露出拥挤的层次。
外缘略带折面感，不是标准圆环；圆胞的大小和形状也不整齐。这属于当前参数、取景和着色方案，不代表每个 McMullen 映射都长成这样。浅色方案强调浮雕感和嵌套边界，不用强烈色带显示逃逸速度。
它们对应 \(z^2+c/z^3\) 中的两个幂：多项式部分把 \(z\) 平方，倒数部分则除以 \(z\) 的三次方。在一般的 McMullen 映射族中，这两个指数通常记作 \(n\) 和 \(d\)。
它们不能理解成“二次到三次”。通分以后，映射写作 \((z^5+c)/z^3\)；只要 \(c\neq0\)，它作为有理映射的次数就是五。
分母 \(z^3\) 在这里等于零，所以原点是一个极点，而不是普通初值。在扩充后的复平面上，零会映到无穷远；附近的点也会被猛烈推出去，强度大致按 \(1/|z|^3\) 增长。
这个极点不是渲染误差；它正是这个家族区别于 \(z^2+c\) 一类多项式的地方。FractalPark 只在零附近加上一道极小的数值保护，让着色器避开未定义的除零运算，同时保留相同的极限行为。